Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества с одной бинарной операцией . Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
Термин «магма» был предложен Бурбаки. Термин «группоид» старше, он предложен Ойстином Оре, однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду, и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.
Обобщённо магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие: квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление; лупа — квазигруппа с нейтральным элементом; полугруппа — магма с ассоциативной операцией; моноид — полугруппа с нейтральным элементом; группа — моноид с обратным элементом или, то же что, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой); абелева группа — группа с коммутативной операцией.
Морфизм магм — это функция , соотносящая магме магму , которая сохраняет бинарную операцию:
где и обозначают бинарные операции на и на соответственно.
Комбинаторика и скобки Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы, и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана . Так например, , что эквивалентно утверждению, что и — единственно возможные способы определения порядка двукратного применения бинарной операции магмы.
Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции, используют запись рядом. Например, если операция магмы «·», то — сокращённая запись . Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая вместо . Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок затруднителен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.
Литература
Категория:Общая алгебра