Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть  — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым . Система корней в  — это конечное множество ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

является линейной оболочкой системы корней. Если два корня , являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо Для каждого корня множество замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной То есть для любых двух корней и множество содержит отражение

(Целостное условие). Если и — корни в то проекция на прямую, проходящую через есть полуцелое, кратное То есть

Замечания С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между и его отражением равна корню , умноженному на некоторое целое число. Оператор , определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по диаграммам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов Эта система называется

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта где

Система корней Система корней Система корней Система корней +Система корней ранга 2

См. также E8 (математика)

Ссылки

Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.

Категория:Группы Ли Категория:Алгебры Ли