Парадо́кс близнецо́в — мысленный эксперимент, при помощи которого пытаются доказать противоречивость специальной теории относительности. Согласно , с точки зрения «неподвижных» наблюдателей все процессы у двигающихся объектов замедляются. С другой стороны, принцип относительности декларирует равноправие инерциальных систем отсчёта. На основании этого строится рассуждение, приводящее к кажущемуся противоречию. Для наглядности рассматривается история двух братьев-близнецов. Один из них (далее «путешественник») отправляется в космический полёт, второй (далее «домосед») — остаётся на Земле. После полёта путешественник возвращается на Землю. Чаще всего «парадокс» формулируется следующим образом:
Формулировка I. С точки зрения домоседа часы движущегося путешественника имеют замедленный ход времени, поэтому при возвращении они должны отстать от часов домоседа. С другой стороны, в системе отсчета путешественника двигалась и ускорялась Земля, поэтому отстать должны часы домоседа. На самом деле братья равноправны, следовательно, после возвращения их часы должны показывать одно время.
Тем не менее, согласно СТО, если не учитывать гравитационный потенциал Земли, то отставшими окажутся часы путешественника. В таком нарушении видимой симметричности братьев и усматривается противоречие.
История Эффект релятивистского замедления времени был сформулирован Альбертом Эйнштейном в его работе 1905 года в виде следующей теоремы:
Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов, и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными…Эйнштейн А. «К электродинамике движущихся тел», Ann. d. Phys.,1905 b. 17, s. 89, русский перевод в «Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905—1920.» М.: Наука, 1965.
В форме парадокса этот эффект сформулировал в 1911 году Поль ЛанжевенLangevin P. «L’evolution de l’espace et du temps». Scientia 10: 31-54. (1911). Придание парадоксу наглядной истории космического путешествия сделало его популярным, в том числе и в ненаучных кругах. Сам Ланжевен считал, что объяснение парадокса связано с ускоренным движением путешественника, которое необходимо для его возвращения на Землю.
Следующим анализ парадокса предпринял Макс фон Лауэ в 1913 годуLaue M. (1913) "Das Relativit\"atsprinzip". Wissenschaft (No. 38) (2 ed.). (1913). С его точки зрения важны не этапы ускорения путешественника, а сам факт смены им инерциальной системы отсчёта при возвращении на Землю.
После создания общей теории относительности Альберт Эйнштейн в 1918 году объяснил парадокс при помощи факта влияния гравитационного поля на ход времениЭйнштейн А. «Диалог по поводу возражений против теории относительности», Naturwiss., 6, с.697—702. (1918). русский перевод «А. Эйнштейн, Собрание научных трудов в четырёх томах», т. I, М.: Наука (1965), С. 616—625..
В самом деле, согласно общей теории относительности, часы идут тем быстрее, чем больше гравитационный потенциал в том месте, где они находятся.
Затем, в 1921 году простое объяснение, основанное на инвариантности собственного времени, предложил Вольфганг ПаулиПаули В. — «Теория Относительности» М.: Наука, 1991..
Некоторое время «парадокс близнецов» почти не привлекал к себе внимания. В 1956—1959 годах Герберт Дингл выступил с рядом статейDingle Н. «Relativity and Space travel», Nature 177, 4513 (1956).Dingle H. «A possible experimental test of Einstein’s Second postulate», Nature 183, 4677 (1959)., в которых утверждалось, что известные объяснения «парадокса» неверны. Несмотря на ошибочность аргументации ДинглаCoawford F. «Experimental verification of the clock-paradox in relativity», Nature 179, 4549 (1957).Darvin S. , «The clock paradox in relativity», Nature 180, 4593 (1957)., его работы вызвали многочисленные дискуссии в научных и научно-популярных журналахБойер Р. , «Парадокс часов и общая теория относительности», Эйнштейновский сборник, «Наука», (1968).Campbell W. , «The clock paradox», Canad. Aeronaut. J.4, 9, (1958)Frey R., Brigham V., «Paradox of the twins», Amer. J. Phys. 25, 8 (1957)Leffert С. , Donahue T., «Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields», Amer. J. Phys. 26, 8 (1958)McMillan E., «The „clock-paradox“ and Space travel», Science, 126, 3270 (1957)Romer R. , «Twin paradox in special relativity». Amer. J. Phys. 27, 3 (1957)Schild, A. «The clock paradox in relativity theory», Amer. Math. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).Singer S., «Relativity and space travel», Nature 179,4567 (1957). В результате появился ряд книг, посвящённых этой теме. Из русскоязычных источников стоит отметить книгиСкобельцын Д. В., «Парадокс близнецов в теории относительности», «Наука», (1966).Гольденблат И. И., «Парадоксы времени в релятивистской механике», М. «Наука», (1972).Терлецкий Я. П. «Парадоксы теории относительности», М.: Наука (1965)Угаров В. А. — «Специальная теория относительности» М.: «Наука», (1977), а также статьюБорн М., «Космические путешествия и парадокс часов» , УФН, 69, вып. 1 (1959).
Большинство исследователей не считают «парадокс близнецов» демонстрацией противоречия теории относительности, хотя история появления тех или иных объяснений «парадокса» и придания ему новых форм не прекращается до настоящего времениDray T., «The twin paradox revisited» Amer. J. of Phys. V.58, I.9, pp.822-825 (1990)Debs T.A.. Redhead, M.L.G. «Paradox of the twins» Amer. J. of Phys. V.64; N.4, pp.384-391, (1996)Cranor M.B., Heider E.M., Price R.H. «A circular twin paradox» Amer. J. of Phys. V.68; P.11, pp.1016-1020 (2000)<ref>Muller T., King A., Adis D., «A trip to the end of the universe and the twin paradox» Amer. J. of Phys. V.76; N.4/5, pp.360-373 (2008)</ref>Grandou T., Rubin J.L., «On the Ingredients of the Twin Paradox» Int.J. of Theor. Phys., V. 48, N.1, pp.101-114 (2009).
Классификация объяснений парадокса Объяснить парадокс, подобный «парадоксу близнецов», можно при помощи двух подходов:
1) Выявить происхождение логической ошибки в рассуждениях, которые привели к противоречию;
2) Провести детальные вычисления величины эффекта замедления времени с позиции каждого из братьев.
Первый подход зависит от деталей формулировки парадокса. В разделах «Простейшие объяснения» и «Физическая причина парадокса» будут приведены различные версии «парадокса» и даны объяснения того, почему противоречия на самом деле не возникает.
В рамках второго подхода расчёты показаний часов каждого из братьев проводятся как с точки зрения домоседа (что обычно не представляет труда), так и с точки зрения путешественника. Так как последний менял свою систему отсчёта, возможны различные варианты учёта этого факта. Их условно можно разделить на две большие группы.
К первой группе относятся вычисления на основе специальной теории относительности в рамках инерциальных систем отсчёта. В этом случае этапы ускоренного движения считаются пренебрежимо малыми по сравнению с общим временем полёта. Иногда вводится третья инерциальная система отсчёта, движущаяся навстречу путешественнику, при помощи которой показания его часов «передаются» брату-домоседу. В разделе «Обмен сигналами» будет приведен простейший расчёт, основанный на эффекте Доплера.
Ко второй группе относятся вычисления, учитывающие детали ускоренного движения. В свою очередь, они делятся по признаку использования или неиспользования в них теории гравитации Эйнштейна (ОТО). Расчёты с использованием ОТО основаны на введении эффективного гравитационного поля, эквивалентного ускорению системы, и учёте изменения в нём темпа хода времени. Во втором способе неинерциальные системы отсчёта описываются в плоском пространстве-времени и понятие гравитационного поля не привлекается. Основные идеи этой группы расчётов будут представлены в разделе «Неинерциальные системы отсчёта».
Кинематические эффекты СТО В основе СТО лежат преобразования Лоренца. Для понимания сути парадокса близнецов необходим аккуратный анализ основных кинематических эффектов, которые из них следуют. Рассмотрим две системы отсчёта и , пространственные оси которых параллельны друг другу. Пусть система движется относительно вдоль оси со скоростью , тогда:
где — координата и время в «неподвижной» системе отсчёта , — координата и время в «движущейся» системе .
Замедление времени Если часы неподвижны в системе (в собственной системе отсчёта), то для двух последовательных событий, происходящих в некоторой точке системы , выполнено равенство . Такие часы перемещаются относительно системы по закону . Тогда из преобразований Лоренца следует, что интервал времени между событиями в системе связан с интервалом между теми же событиями в системе равенством:
Важно понимать, что в этой формуле интервал времени измеряется одними покоящимися в часами (). Он сравнивается с показаниями нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе (), мимо которых пролетают со скоростью часы .
Интервал времени , измеренный часами в системе между событиями в системе , больше интервала , измеренного часами в собственной системе отсчёта : , поскольку .
В системе движущиеся часы идут медленнее, чем в собственной системе отсчёта .
Важный момент эффекта замедления времени связан с эквивалентностью инерциальных систем отсчёта (принцип относительности). Часы, неподвижные в системе : , движутся относительно синхронизированных часов в системе : и идут в медленнее, чем в собственной системе отсчёта : , поскольку .
Несмотря на прежние обозначения, последняя формула не противоречит предыдущей. Каждая из них описывает разные измерительные процедуры. В первом случае одни часы, покоящиеся в системе (собственной системе отсчёта), движутся мимо нескольких часов в , а во втором случае ситуация обратная: одни часы в собственной системе отсчёта движутся мимо нескольких часов в .
Относительность одновременности Относительность одновременности событий является ключевым эффектом СТО, необходимым для понимания «парадокса близнецов». Рассмотрим систему отсчёта , движущуюся со скоростью в направлении оси системы . В каждой из систем вдоль осей и расположены синхронизированные часы. Пусть рядом с каждыми часами в обеих системах отсчёта находятся наблюдатели. В преобразованиях Лоренца предполагается, что в момент времени начала систем отсчёта совпадают: . Ниже изображена такая синхронизация отсчёта времени (на «центральных» часах) с точки зрения наблюдателей в системе отсчёта (левый рисунок) и с точки зрения наблюдателей в (правый рисунок):
Положив в преобразованиях Лоренца , получим . Это означает, что наблюдатели в системе , одновременно с совпадением времени на центральных часах , регистрируют различные показания на часах в системе (левый рисунок). Для наблюдателей в , расположенных справа от точки , с координатами , в момент времени часы неподвижной системы отсчёта показывают «будущее» время: . Наблюдатели , находящиеся слева от , фиксируют «прошлое» время часов : . Положение стрелок символизирует разницу показаний часов двух систем отсчёта. Например, два события, произошедшие в момент в разных точках системы , происходят не одновременно в системе отсчёта с точки зрения наблюдателей в системе : левое событие происходит раньше правого.
Это утверждение верно для любого момента времени . Из преобразований Лоренца следует, что если , то Отсюда, если , то и . Это означает, что в системе отсчёта левое событие в точке , происходит раньше правого в точке : . Этот факт фиксируется часами, синхронизированными в системе . Таким образом, наблюдатели в обеих системах зафиксируют неодновременность событий в системе .
Поскольку системы и равноправны, то с точки зрения наблюдателей системы часы в системе не синхронизированы. События, происходящие одновременно в разных точках системы происходят в системе не одновременно для наблюдателей обеих систем.