Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел с вещественными весами , такими что , определяется как
.
Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые и соответствующие веса . Поэтому, как правило, полагают, что все числа . Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.
Если веса нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид: .
Свойства Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами. Если все веса () равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.
Пример использования Пусть дано дискретное распределение вероятностей . Обозначим через среднее геометрическое взвешенное от величин с весами , т.е. . Тогда энтропию Шеннона распределения можно записать в виде . Величина интерпретируется как эффективное количество состояний системы.
Примечания
Геометрическое взвешенное