Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:
Пусть дана рациональная функция от переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?
Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.
Вариации и обобщения Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом.Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p. Более явные примеры таких многочленов были даны в 1967 году. Например, многочлены
не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов. С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов. Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая геометрия #17