Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры Функциональному уравнению: , где  — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана .

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

(формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение: ,

где являются целыми числами, удовлетворяющими равенству , то есть: , определяет как модулярную форму порядка .

Функциональные уравнения Коши:  — удовлетворяют все линейные однородные функции ,  — удовлетворяют все показательные функции ,  — удовлетворяют все логарифмические функции ,  — удовлетворяют все степенные функции . Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение приводится к уравнению после замены (для этого, естественно, нужно, чтобы не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:  — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет ,  — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции ,  — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет ,  — уравнение Даламбера,  — уравнение Абеля,  — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .

Рекуррентные соотношения Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

(где  — константы, не зависящие от ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения: , достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию с неопределённым параметром и попробовать найти те , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение с двумя различными корнями и поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула (константы и подбираются так, чтобы при и формула давала нужные значения для величин и ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является , определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых ; простейшие инволюции: , , , .

Функциональный метод решения уравнений. Рассмотрение и использование инволюции. Решить уравнение . Шаг 0 Введём в рассмотрение функцию . Вычислим . У нас получится: Значит, .

Шаг 1 Уравнение перепишется в виде: .

Шаг 2 Подставим везде, где есть , функцию . Получим: Но так как , то .

Поэтому .

Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод:

Шаг 4 Подставим везде, где есть , функцию . Имеем:

Шаг 5 Наконец,

Шаг 6 Подставим выражение во вторую строчку системы. Итак,

Ответ: , или

Применим вычислительный метод. Пример 1. Для решения уравнения:

для всех и , положим : . Тогда и . Далее, положив :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит для всех и является единственным решением этого уравнения.

Другим методом является метод замены. Пример 2. Решить: .

Ясно, что .

Решить такое уравнение — значит отыскать функцию .

Введём обозначения: , а .

Тогда исходное уравнение приобретёт вид

Функции и связаны равенством

Кроме того, выполняются соотношения:

Значит, подставим по отдельности и в уравнение .

Получим систему:

Откуда будем иметь .

Или, что то же самое, .

Следовательно, при .

Введение неопределённых коэффициентов. Это один из способов реализации алгебраического метода замены. Признак выбора указанного способа: по внешнему виду уравнения можно определить общий вид искомой функции (относится, прежде всего, к тем случаям, когда решения уравнений следует искать среди целых и дробно-рациональных функций).

Пример 3. Пусть функция определена при всех действительных и удовлетворяет при всех условию . Найдите .

Так как в левой части уравнения над независимой переменной и значениями функции выполняются только линейные операции, а правая часть уравнения — квадратичная функция, то естественно предположить, что искомая функция, возможно, также квадратичная: , где , и — коэффициенты, подлежащие определению, т. е. неопределённые коэффициенты.

Подставляя функцию в уравнение, приходим к тождеству: , или, что то же самое, .

Два многочлена будут тождественно равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной: .

Из этой системы находим коэффициенты , и , а вместе с этим и функцию , являющуюся искомым решением функционального уравнения.

Докажем приведением к нелепости, что других решений нет. Предположим, что функция , отличная от , на множестве всех действительных чисел также удовлетворяет условию задачи. Тогда существует такое , что . Значит, при и должны выполняться равенства: и , из которых следует, что , что невозможно по допущению. Полученное противоречие опровергает сделанное предположение.

Следовательно, задача имеет единственное решение. Ответ: , .

Наконец, можно говорить о методе тождественных преобразований. Пример 4. Решить уравнение .

Рассмотрим правило , где — произвольное математическое выражение. Продолжим "цепочку":

.

Или: .

Последнее эквивалентно равенству при , причём , где .

Эта задача легко решается функциональным методом с элементами метода замены.

Литература Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51. Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175. Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985. Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки Инволюция (Викиучебник) Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations. IMO Compendium text on functional equations in problem solving.