Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна , где — минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.
Примеры размерность конечного множества равна нулю, так как для него не превосходит количества элементов в нём. размерность отрезка равна 1, так как необходимо отрезков длины , чтобы покрыть отрезок длины . Таким образом, , размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной , ведет себя примерно как . размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна .
размерность Минковского множества равна 1/2.
Свойства Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше. Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа. Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.
См. также Размерность Хаусдорфа Фрактал Эпсилон-энтропия
Литература Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973 Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000
Категория:Фракталы Категория:Теория размерности Категория:Герман Минковский Категория:Размерность пространства