Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и : .
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Свойства Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:
В частности, Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю. Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой. Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.
Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
Обобщение В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:
В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.
См. также Двойное векторное произведение Векторное произведение Скалярное произведение Псевдоскалярное произведение
Примечания
Источники
Ссылки Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач
Категория:Векторный анализ Категория:Тернарные операции