Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника, относительно биссектрис углов треугольника.
Определение Точки и называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратнымиД. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902) в треугольнике , если , , . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.
Свойства Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей. Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки. Если точки , , симметричны точке относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности треугольника изогонально сопряжён точке . Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
Проекции двух изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное) . Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек. Последнее означает, что подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера. Подерной или педальной окружностью называют описанную окружность подерного треугольника. Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трёх их расстояний до трёх сторон треугольника равны .
Пары изогонально сопряженных линий Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха. Если коника изогонально сопряжена прямой , то трилинейные поляры всех точек на будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу . Некоторые известные кубики, например, кубика Томпсона (Thompson cubic), кубика Дарбу (Darboux cubic), кубика Нойберга (Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.
Пары изогонально сопряжённых точек
Центр описанной окружности и ортоцентр (см. рисунок). Точка пересечения медиан и точка Лемуана (точка пересечения симедиан). Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности. Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера). Две точки Брока́ра Точка Аполлония и точка Торричелли. Центр вписанной окружности (инцентр) изогонально сопряжён сам себе.
Координатная запись В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как: , где , , — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму: , поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.
Вариации и обобщения Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжениюИзогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях. С изогональным сопряжением тесно связано антигональное сопряжение, упоминаемое в статье теорема Понселе.
Следствия Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.
Примечания
См. также Изотомическое сопряжение Изоциркулярное преобразование Категория:Преобразования пространства Категория:Планиметрия