Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука ТейлораTaylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332. — его использовали ещё в XIV веке в ИндииGupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70., а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка, а аппроксимация кубическим сплайном - путём отсечения в многоряде Тейлора всех членов выше третьего порядка и нахождения второй производной методом прогонки Томаса.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение Многочлен Тейлора Многочленом Тейлора функции вещественной переменной , дифференцируемой раз в точке , называется конечная сумма ,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении: при верно .

При записи суммы используются обозначение и соглашение о произведении по пустому множеству: , .

Ряд Тейлора (вещественный случай)

Рядом Тейлора в точке функции вещественной переменной , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки , называется формальный степенной ряд

Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу». — С. 354.

Наличия бесконечной дифференцируемости функции в окрестности точки недостаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции. Соответствующие примеры приведены в разделе об аналитических функциях.

Ряд Тейлора (комплексный случай)

Рядом Тейлора в точке функции комплексной переменной , удовлетворяющей в некоторой окрестности точки условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

.

В отличие от вещественного случая, из условий Коши — Римана следует, что существует такое, что в круге ряд сходится к функции .

Ряд Маклорена

В случае ряд

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

Определение аналитической функции Функция вещественной переменной называется аналитической в точке , если существуют и коэффициенты , , такие что

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой его точке.

Степенной ряд на любом компактном подмножестве области сходимости допускает почленное дифференцирование любое число раз, и подстановка в -ю производную функции даёт . Таким образом, для аналитической функции :

Следствие. Функция вещественной переменной является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

Пример бесконечно дифференцируемой, но неаналитической функции Произвольная бесконечно дифференцируемая функция не обязательно равна своему ряду Тейлора. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но не совпадает с функцией ни в какой проколотой окрестности точки разложения.

Классический пример (предложен Коши):

Функция бесконечно дифференцируема в точке , и все её производные в этой точке равны нулю, поэтому ряд Тейлора с параметром тождественно равен нулю. Однако при , так что ряд не совпадает с функцией ни в какой окрестности нуля, и не является аналитической в точке .

Аналогичными свойствами обладают функции

,

являются бесконечно дифференцируемыми в точке , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром тождественно равны нулю. Однако, для любого в окрестности точки найдутся точки, в которых функции отличны от . Таким образом, эти функции не являются в точке аналитическими.

Доказательство проведём для функции , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция , является аналитической функцией комплексной переменной для всех .

Для очевидно, что .

Функция для  — это «исправленная» функция , , дополненная пределами слева и справа в точке .

Найдём производную функции в точке . По определению: .

Поскольку для выполняется , то докажем, что для произвольного верно .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям не приводит к результату. Выполним замену переменной: :

.

Пусть . Применяя правило Лопиталя раз, в числителе получим либо (при ) константу , либо (при ) бесконечно малую :

.

Таким образом, .

Найдём (для ) несколько начальных производных функции :

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение на сумму целых отрицательных степеней . Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные в точке , обнаруживаем, что все производные в точке равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд сходится только при условии .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .

4. От параметра — точки разложения ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию : .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством . И теперь эта область зависит от . Например, для ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид , то есть это -я частичная сумма ряда Тейлора функции . Разница между функцией и многочленом называется остаточным членом и обозначается . Формула называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция имеет производную на отрезке с концами и , то для произвольного положительного числа найдётся точка , лежащая между и , такая, что

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Методом интегрирования по частям получим откуда

Ослабим предположения: Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки и -ю производную в самой точке , тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

Поскольку , то предел отношения при , стремящемся к , может быть найден по правилу Лопиталя:

Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем , при . А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Предположим, что некоторую функцию нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и её ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать , где  — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию . Её ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид , где  — некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Ряды Маклорена некоторых функций Экспонента: Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): для всех Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где  — обобщённые биномиальные коэффициенты. Квадратный кореньГрадштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений . — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.: для всех Обратный квадратный корень: для всех : для всех для всех для всех Конечный геометрический ряд: для всех Тригонометрические функции: Синус: Косинус: Тангенс: для всех где  — числа Бернулли. Котангенс: для всех где  — числа Бернулли. Секанс: для всех где  — числа Эйлера. Косеканс: для всех где  — числа Бернулли. Обратные тригонометрические функции: Арксинус: для всех При значении , близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, то есть даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой где . Арккосинус: для всех Арктангенс: для всех Арккотангенс: для всех Гиперболические функции: Гиперболический синус: Гиперболический косинус: Гиперболический тангенс: для всех Гиперболический котангенс: для всех Гиперболический секанс: для всех Гиперболический косеканс: для всех Обратные гиперболические функции: Гиперболический арксинус: для всех Гиперболический арктангенс: для всех W-функция Ламберта: Другие функции:

Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция имеет непрерывные производные до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки .