Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге . Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609. и 1619Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189. годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе , где , — массы планеты и звезды соответственно.
Формулировки
Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), — большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно, эллипс превращается в окружность.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за любые равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Третий закон Кеплера (гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. ,
где и — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
,
где — масса Солнца, а и — массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Вывод законов Кеплера из законов классической механики <div class="NavContent" style="text-align:left;">
Вывод Первого закона Кеплера Рассмотрим движение в полярных координатах , центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
Пусть — радиус-вектор к планете, за обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём — единичный вектор, перпендикулярный , направленный в сторону увеличения полярного угла . Запишем производные по времени, обозначая их точками:
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:
Или в координатной форме:
Во втором уравнении распишем и :
Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:
Интегрирование которого даст:
Полагая и упрощая логарифмы имеем окончательно
Константа по смыслу является удельным угловым моментом (). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.
Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:
И переписать производные, попутно избавляясь от времени
Уравнение движения в направлении тогда запишется:
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где — универсальная гравитационная константа и — масса звезды.
В результате:
Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:
Избавляясь от которых получим:
И окончательно:
Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
для констант интегрирования и , зависящих от начальных условий.
Заменяя на 1/ и вводя , имеем окончательно:
Мы получили уравнение конического сечения с параметром и эксцентриситетом и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Вывод Второго закона Кеплера По определению момент импульса точечного тела с массой и скоростью записывается в виде:
.
где — радиус-вектор тела, а — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором за время из геометрических соображений равна , где представляет собой угол между векторами и .
При выводе первого закона было показано, что . То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
Получили, что не зависит от времени. Значит постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади — константа.
Вывод Третьего закона Кеплера
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках (перигелий) и (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках и , запишем
Теперь, когда нашли , мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна (что равно , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса не пренебрежимо мала по сравнению с , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы (см. приведённая масса). При этом массу в последней формуле нужно заменить на :
Альтернативный расчёт Рассмотрим планету как точку массой , вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:
перигелий с радиус-вектором , скоростью ; афелий с радиус-вектором , скоростью .
Запишем закон сохранения момента импульса
и закон сохранения энергии , где M — масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»: .
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной): . Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
где — длина большой полуоси, — длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота: .
Следовательно, .
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
Подставим в формулу площади эллипса:
Откуда окончательно получим:
или в традиционном виде
Примечания
См. также Закон всемирного тяготения Задача Бертрана Задача двух тел Задача трёх тел
Литература
Категория:Иоганн Кеплер Категория:Небесная механика Категория:Законы классической механики Категория:Астрономические законы и уравнения Кеплера