Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора — это симметричный тензор , а антисимметризация — антисимметричный тензор .
Операция симметризации: . Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры: .
Операция антисимметризации или альтернирования определяется так: . Суммирование снова ведётся по всем перестановкам индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки . Примеры: ; .
Некоторые авторы предпочитают не писать множитель в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.
Свойства симметризации и антисимметризации Если симметричен по то симметризация по этим индексам совпадает с а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с , а симметризация даст нулевой тензор. Если то Здесь — симметричное, а — внешнее произведение векторных пространств.
Категория:Тензорное исчисление