Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году (English translation: ). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the Ehrenfest archive ..
Уравнение Фридмана Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002,
где — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, — масштаб («размер») вселенной.
Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.
Сферические координаты
Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна
где — фотометрическое расстояние, ; — сферические углы; — масштабированное время, .
Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны
где штрих означает дифференцирование по .
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен
где плотность энергии, —давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна .
Временная компонента уравнения Эйнштейна,
с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,
Если связь плотности энергии и давления (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной , используя уравнение сохранения энергии
В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,
Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства Для открытой вселенной метрика Фридмана равна
где , ; — сферические углы; — масштабированное время, .
Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой .
Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть
Открытая (бесконечная) и плоская вселенная Для плоской вселенной метрика Фридмана равна
где , ; — сферические углы; — масштабированное время, .
Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе .
Замечая, что , где , уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как
Приведённые радиальные координаты
В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна
где — сферические угловые координаты; — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса с центром в начале координат равна — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;
Решения уравнения Фридмана Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.
Примечания
Ссылки
Фридмана