Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности как наименьшее поле, содержащее . Поле частных для может обозначаться или .
Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).
Примеры Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел . Возьмём в качестве кольцо гауссовых целых чисел вида где , — обычные целые числа. Тогда — поле рациональных гауссовых чисел. Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю. Пусть — поле. Тогда кольцо многочленов с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для обозначается и называется полем рациональных функций.
Построение Поле частных для области целостности строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары и эквивалентны, если . Поле частных определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару , по аналогии с обычными дробями обозначают как или .
Сумма и определяется, как для дробей: . Аналогично определяется умножение: . Несложно проверить: Результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности; Сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание; Классы и играют роль нуля и единицы соответственно; Все аксиомы кольца выполнены. Поэтому — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу — для доказательства сопоставим класс, содержащий пару .
Далее установим, что у каждого ненулевого класса имеется обратный элемент определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура является полем.
Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма.
Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.
Свойства Поле частных кольца удовлетворяет следующему универсальному свойству: если — инъективный гомоморфизм колец из в поле , то существует единственный гомоморфизм колец , который совпадает с на элементах . Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.
В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.
Примечания
Литература
Ссылки Кострикин А. И. Поле отношений целостного кольца. // Введение в алгебру, § 9.5.4.3.1. М.: Наука, 1977, стр. 233—236.
Категория:Коммутативная алгебра Категория:Теория полей