Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов с последовательностью гомоморфизмов , такая что для любого образ совпадает с ядром (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.
Короткая точная последовательность — точная последовательность типа: , в этом случае — мономорфизм, а — эпиморфизм. При этом, если у есть левый обратный или у правый обратный морфизм, то можно отождествить с таким образом, что отождествляется с каноническим вложением в , а — с канонической проекцией на . В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.
Длинная точная последовательность — точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
Если , то последовательность называется полуточной.
Примеры В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если — локально тривиальное расслоение над со слоем , то следующая последовательность гомотопических групп точна: .
Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств: .
Цепной комплекс — полуточная последовательность абелевых групп.
Со всяким локально тривиальным расслоением многообразий связана короткая точная последовательность расслоений:
и двойственная ей: , где — касательное расслоение к многообразию , и — вертикальное и горизонтальное расслоения к соответственно, а обозначает двойственное расслоение (кокасательное, ковертикальное, когоризонтальное — состоящее из сопряжённых слоёв).
Экспоненциальная точная последовательность: , где и — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций.
Примечания
Категория:Теория категорий Категория:Гомологическая алгебра