Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением
которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить .
Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности.
Ударение В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка». В другом словаре — «ку́бика»Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.131. В разговорном языке употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика»А. Н. Паршин. С. С. Галкин. Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе. Лекция 4 . Видеотека Общероссийского математического портала (в 20 мин 18 сек)С. М. Львовский Двадцать семь прямых. Занятие 3 . Видеотека Общероссийского математического портала (в 36 мин 15 сек)С. А. Локтев. .
Классификация Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году«Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на )..
Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:
. Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, . Полную классификацию дал Плюккер.
По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.
Свойства
Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики и , имеющие точек. Если третья кубика проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую. На кубике взяли точку и провели из неё к кубике — одна касается кубики в точке , другая — в точке . Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны и . Тогда Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.. Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой? Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в есть4. Например, у кубики график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки. Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью. На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой. Прямая пересекает кубику в точках , , . Касательные, восстановленные к кубике в точках , , , пересекают кубику второй раз в точках , , . Тогда точки , , также лежат на одной прямойThe Cubic Curve and an Associated Structure by D. S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, No. 372 (May, 1966), pp. 105—110 Published by: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Page Count: 6 .См. также , , , , , , , , , ..
Применения Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type1 (в TrueType используются только квадратичные кривые). Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако в последние XXвека были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография. Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубикСм. и .. Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубикСм. его работы ..
См. также Теорема о девяти точках на кубике Кубики, связанные с треугольником Эллиптическая кривая Классификации кубик Ньютона Аффинная классификация кубик Изометрическая эквивалентность Аффинная эквивалентность
Примечания
Ссылки Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках Flash и Java.
Категория:Алгебраические кривые