Математика инков — система воззрений жителей Андского региона Южной Америки, проживавших в Империи инков. Ведение подсчётов и вычислений осуществлялось на счётном устройстве юпана (существовало несколько разновидностей), хранение и воспроизведение — в кипу. Кипу также служило для статистического сбора информации (как правило, это были большие объёмы числовых данных похожие на двоичную систему, имеющую 128 вариаций) и было равнозначно европейскому нотариальному акту. Кипу сберегалось в хранилищах, с приставленным штатом государственных чиновников — камайоков. Вычисления также осуществляли инкские учёные (философы, астрологи, астрономы) — амаута ( — «мудрец»), учителя — йачачик, и поэты — «аравеки». Обучение велось в школах для детей знати и чиновников — ячайваси («дом знания»). Подобием университета была главная школа в столице империи — Куско. Почётным именем у инков было — Юпанки, восходящее к слову «вычислять»; такое имя носили некоторые правители: например, Пачакутек Юпанки — великий реформатор, завоеватель и первый исторически достоверный правитель у инков.
Математика инков вобрала в себя изобретения двух с половиной тысячелетий существования всех предшествующих цивилизаций Перу: Чавин ( 800—200 до н. э.), Паракас (кипу, ткацкое дело — 800 до н. э. — 200 н. э.), Тиауанако (500 до н. э. — 1000 н. э.), Наска (300 до н. э. — 800 н. э.), Моче (100—700), Уари (знаки токапу — 500—800), Сикан (700—1300), Чиму (1000—1500) и многих других. Время и место изобретения юпаны пока в точности неизвестны.
Основные сведения сохранились в книгах «Подлинные комментарии» (1609) Гарсиласо де ла Веги и «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo» Бласа Валера (1618).
Пятеричная и десятичная системы счисления В исторических хрониках XVI—XVII ст. в основном говорится о десятичной системе с основой на 100, существовавшей у инков и которая, например, применялась в подчинении семей определённым государственным чиновникам. Однако ряд этноисторических источников говорит об объединении десятичной системы исчисления с пятеричной. В целом государство и общество выглядело при этом следующим образом: Тавантинсуйу — империя во главе с Сапа Инкой, Королевским Советом, инспекторами, размещавшимися в Куско. Империя номинально охраняла пачака уну («1 000 000»). Суйу («часть») составлялась из нескольких уну (и, соответственно, вамани), имела главой — правителя Суйуйук Апу, который во времена инков заботился о 100 тыс. семей. Пакаримок — местный король или правитель (в доинские времена). Имел в подчинении 100 тыс. семей. Вамани-провинция с токрикуком, правителем провинции, главой 40 000 семейViviana Moscovich. El khipu como registro textil en el imperio inca: ¿herramienta de trabajo reutilizable o informe final? // Iberoamerica Global. Vol.1. № 2 — Jerusalem, 2008, p. 69.. «Ваманин апу» — капитан местного короля. Уну камайук («десять тысяч»), или Уну Апу — курака высшего ранга, глава 10 000 семей. Пичка варанка камайук («пять тысяч») — глава 5000 семей, возможно, заместитель Уну Апу. Варанка камайук («одна тысяча»), или куракаваранка — курака среднего ранга, надзиратель, глава 1000 семей, налогоплательщик. Пичка пачака камайук («пятьсот») — надзиратель, глава 500 семей, возможно, заместитель куракаваранки. Пачака камайук («сотня»), или пачакакурака, камачикук — курака нижнего ранга, представитель местной власти, надзиратель, глава 100 семей, налогоплательщик. Пичка чунка камайук («пятьдесят»), камачикук — надзиратель, глава 50 семей, возможно, заместитель пачакакураки. Чунка камайук («десять»), камачикук — надзиратель айлью, представитель местной власти, глава 10 семейPolo de Ondegardo. Report of the Lineage of the Yncas // Narratives of the rites and laws of the Yncas. — New York, 1873, p.155.. Пичка камайук («пять»), камачикук — надзиратель, глава 5 семей, возможно, заместитель, чункакамайука. Пурик, пурех — глава 1 семьи, налогоплательщик.
Подтверждение десятичной системе можно найти в сведениях хронистов об узлах в числовых кипу, формировавшихся позиционно в вертикальной плоскости снизу вверх по верёвке: единицы, десятки, сотни, и т. д.Alfabetos de ayer y de hoy, Quipu
В современном кечуа В современном кусканском варианте языка кечуа используется десятичная система:
ЧислаКечуаЧислаКечуаЧислаКечуа 1 Huk 11 Chunka hukniyuq 30 Kimsa chunka 2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq 40 Tawa chunka 3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq 50 Pisqa chunka 4 Tawa 14 Chunka tawayuq 60 Suqta chunka 5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq 70 Qanchis chunka 6 Suqta 16 Chunka suqtayuq 80 Pusaq chunka 7 Qanchis 17 Chunka qanchisniyuq 90 Isqun chunka 8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq 100 Pachak 9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq 1000 Waranqa 10 Chunka 20 Iskay chunka 1 000 000 Hunu
Ноль В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятичной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном языке ноль обозначается словом (букв. «отсутствующий», «пустой»), однако то, какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».
В Старом Свете (в Европе и Индии) отсутствие названия для нуля косвенно свидетельствовала об использовании счёт, где пропуск числового значения или отсутствие числа не требовало применения для нуля особого названия. Поэтому предположить такую же ситуацию для Америки тоже возможно, к тому же у инков были счёты юпана.
Обучение
В школе
Одно из наиболее пространных сообщений об обучении в школах находится в книге «Подлинные комментарии» Инки Гарсиласо де ла Веги (1609):
[Валера] говорит, что [Инка Рока] был первым, кто создал школы в королевском городе Коско, чтобы амауты обучали достигнутым ими наукам принцев инки и других [юношей] королевской крови и знати его империи, [но] не с помощью письма (letras), которого у них не было, а путём практики и ежедневных повторений (uso cotidiano) и путём опыта, добиваясь, чтобы они знали ритуалы, заветы и церемонии своей ложной религии, чтобы они понимали смысл и обоснование своих законов и прав и знали бы их количество и подлинное толкование; чтобы они овладевали бы даром умения управлять и были бы более учтивыми и освоили бы самое высокое мастерство в военном искусстве; чтобы они познакомились с [понятием] времени и года и умели бы узнавать по узлам [кипу] истории и как их толковать; чтобы они умели говорить красиво и элегантно и умели бы воспитывать своих сыновей, управлять своими домами. Их обучали поэзии, музыке, философии и астрологии, во всем этом [тому] немногому, чего достигла каждая наука. Учителей они называли амаутами, что значит философ и ученый; они пользовались исключительным почтением.
Как писал в своей тетради «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo» метис Блас Валера (1618), обучение математике в школах производилось следующим образом:
В ячайваси, кроме ткачества и вышивки, королевским и знатным юношам преподавали изучение юпаны и кипу и их взаимосвязь; короче говоря, они устанавливали камушки и из камней составляли узлы, занимаясь и тем, и тем, и занося одно в другое и наоборот. Я изучил их в детстве и хотел напомнить это в рисунке, представленном в уже упомянутой «Новой Хронике».
Использование вышеупомянутой юпаны было обязательным и непременным условием образования учеников. Правда, Валера не раскрыл характер арифметической системы в юпане, раскрыв лишь секрет сакрального характера вычислений на юпане для смыслового стихотворного кипу с песней Сумак Ньюста (представленной также в книге Гарсиласо де ла Веги «Подлинные комментарии» (1609)):
Я надеюсь, что эта моя работа когда-нибудь увидит свет и в ней можно заметить похожую доску; юпана показана [в той работе (то есть в «Новой Хронике» Гуамана Пома де Айяла)] под счетоводом. По некоторым причинам не удаётся письменно пояснить отличие арифметического приёма вышеупомянутых счёт, так же, как и народной песни Sumac Ñusta, который спрятан [в этой работе]. Ученик, который уже выучил на память Sumac Ñusta, получал задание заняться составлением песни при помощи кипу, наблюдая за 23 ключевыми словами; это — знаки, которые он сам же и ткал. Все это было началом; потом он высчитывал на юпане тридцать два белых шара, это — узлы и дополнения, которые он был должен составить, чтобы получить [нужные] слоги; последние служили для спряжения и склонения, а также для полного составления песни, завязанной в кипу; таким образом в шнурах он читал то, что было нужно сделать, дабы подтвердить, что числовой ключ состоял из двадцати трёх и из тридцати двух; так он занимался; и, вычисляя, путём умственной деятельности, становился аравеком [то есть поэтом]. Перья, вставленные в конечные кольца, определяли, какие линии были предназначены для осуществления операций; шнур, украшенный зелёным камушком, похожим на цилиндр указывает, что было нужно производить вычитание в горизонтальном порядке. Напротив, четвёртый и шестой шнур дважды определяют число ключевых слов. Такая операция была результатом нескольких лет обучения, поскольку в вышеуказанных счётах не может существовать позиции, а только классы единиц и десятков. Только в ячайваси так изучалась арифметика, стройность слогового кипу. Итак, вышеприведённое вычисление таково: 87+37=124; 46+46=92; 124-92=32. Как только было показано приемлемое числовое значение для составления Sumac Ñusta, ученик переходил к тому, чтобы завязывать её в королевском кипу.
В университете О наличии у инков некоего подобия университета и разнообразии «письменности» имеются сведения у хрониста Фернандо де Монтесиноса в его «Памятных сведениях» (1642—1644):
Тогда царь скрыл свои чувства, и совершил великие жертвоприношения и спрашивал Ильятиси Виракочу. Ответ был, что причиной заразной болезни были буквы, и чтобы никто их не использовал и вновь к ним не возвращался, ибо от их использования они должны будут претерпеть наибольший ущерб. Из-за этого Топа Каури установил законом, чтобы под страхом смерти никто не имел бы дела с килькой [quilca], которая была пергаментами и листьями определённых деревьев, на которых они писали, и чтобы никоим образом не пользовались письмом. Этот оракул, его они соблюдали с такой тщательностью, что после этой утраты перуанцы никогда не пользовались буквами, так что когда некоторое время спустя один мудрый амаута изобрёл некие /64/ знаки, его сожгли живьем, и так с тех пор использовали нить и кипо с различиями, как мы увидим. Он также устроил в Пакаритамбо [Pacaritambo] подобие университета, где знатные заботились об упражнениях в военном деле и о мальчиках. Их обучали способу считать при помощи кипо, добавляя разные цвета, которые служили буквами, из-за чего было облагорожено их маленькое государство.
Сложение
Важное сведение о сложении также представлено Бласом Валера:
Поскольку в прошлом для людей Тауантинсуйу вычисление было благородным искусством, помимо полезности своего назначения, я помню, что кипукамайок разработали мирайпакипу [кипу сложения], которое было лучше, чем юпана, ввиду его удобства для сложения и переноски. Не менее изобретательно, они, вновь и вновь испытывая его, вычислили, что, добавляя всегда одни и те же единицы, удавалось получить один и тот же результат. Следовательно, развивая изобретательность, они обнаружили метод быстро облегчить сложение: в полностью белом кипу, составленном из восьми тонких веревок, они осуществляли сложение от двух до девяти с помощью узлов двух разных цветов. Я воспроизвожу только тонкую верёвку, четвертую по порядку, чтобы показать как изобретательность, так и результат, выделявшийся только кипукамайоком, то есть: у положения узлов, здесь, не было привычного значения, поскольку значение определялось цветом: зеленые — это единицы, красные — это десятки.
Умножение Об умножении в тетради Бласа Валера сохранилась следующая запись: