Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.
Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году.
Теорема является решением проблемы Варинга для степени . Поскольку числа вида где , непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратахСовременные проблемы математики: Рецензируемое издание Математического института имени В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Выпуск № 11. — С. 22., то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди .
Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа с помощью арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионовДрозд Ю. А. Теорема о четырёх квадратах // Математика сегодня / Ред. А. Я. Дороговцев. — : Вища школа, 1982. — С. 88—93..
Примеры:
Примечания
Категория:Диофантовы уравнения Лагранжа о сумме четырёх квадратов Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Аддитивная теория чисел