Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .
Определение
Для метрических пространств Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;
При этом
-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.
Для топологических пространств Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .
При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .
Примеры Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество. См. также нульмерное пространство. Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера См. также кривая Урысона
Свойства Неравенство
выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства и : метризуемость, компактность, локальная компактность и паракомпактность. Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина. Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа. Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на . Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство имеет размерность тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия пространства существует вписанное покрытие , которое состоит из подсемейств таких, что каждое подсемейство состоит из непересекающиеся между собой множеств.
История Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.
Примечания
Литература Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
Категория:Теория размерности Категория:Размерность пространства