Группа кос — группа, образованная для заданного всеми косами из нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом .
Группа кос наделяется рядом математических структур, происходящих из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, и допускает множество различных интерпретаций.
Группа впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. ).
Определение Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.
Геометрические косы
Классический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос. Так, произведением двух кос и из одинакового числа нитей называется коса , полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы.
Такое умножение задаёт на множестве всех кос из нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям. Таким образом, вместе с операцией умножения множество является группой, которая называется группой кос из нитей.
Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов.
Задание образующими и соотношениями
Согласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:
для для .
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп.
Траектории движения точек на плоскости
Группа кос может быть задана своим , а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства неупорядоченных наборов различных точек евклидовой плоскости:
.
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий.
Автоморфизмы свободной группы
Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы.
Автогомеоморфизмы проколотого диска Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с проколами:
.
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии.
Свойства Согласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна: .
Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической: .
Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника: . Изоморфна центральному расширению модулярной группы.
Группа кос из четырёх нитей изоморфна полупрямому произведению , где — свободная группа с двумя образующими. В частности её можно включить в короткую точную последовательность:
При ранг группы кос равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой), но может быть порождена двумя элементами и .
Абелианизация и коммутант При абелианизация группы кос изоморфна бесконечной циклической группе:
.
Гомоморфизм абелианизации сопоставляет косе её экспоненциальную сумму .
Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:
.
Например, группа является свободной ранга два с базисом и .
Центр
Центр группы кос является циклическим. А именно, при он порождается полным оборотом:
.
Кроме того,
.
Данное свойство позволяет установить, что при группы и не изоморфны.
Автоморфизмы Задача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 году и решена в 1981 году в работе Джоан Дайер и Эдны Гроссман.
При группы кос является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения , действующего на образующих Артина формулой
.
Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм
.
Точная последовательность
расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:
.
Группа внутренних автоморфизмов группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с проколами:
.
Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:
.
Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с проколами:
.
Кручение При группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.
Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос. Например, порядка Деорнуа.
Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство является асферическим многообразием.
Остаточная конечность и хопфовость При группа кос является остаточно конечной. В частности, она хопфова.
Извлечение корней
Для данных косы и целого числа задача определения того, существует ли коса со свойством , алгоритмически разрешима. Но такая коса не обязательно единственна. Например, для любого в группе кос фундаментальная коса допускает следующие представления:
.
При косы и различны, поскольку, например, различны их перестановки.
В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью , она была доказана. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.
Псевдохарактеры При пространство псевдохарактеров группы кос бесконечномерно. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.
Линейность При всех группа кос является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу является точным. Представление Бурау, напротив, имеет нетривиальное ядро при всех , но является точным при , а вопрос о его точности при остаётся открытым.
Подгруппы
Группа крашеных кос
Множество всех крашеных кос из нитей образует нормальную подгруппу группы кос , которая обозначается символом .
Для каждого группа является конечнопорождённой, а именно, она порождается косами
называющимися образующими Маркова, где и таковы, что
Факторгруппы Симметрическая группа Сопоставление косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм
из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина в элементарные транспозиции .
С помощью данного эпиморфизма косы из нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества . Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций . Принципиальное отличие состоит в том, что , в то время как . Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций необходимо задать не только индексы , но то, как именно на этом участке нити под номерами и меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.
Ядром эпиморфизма является группа крашеных кос . Согласно теореме о гомоморфизме,
.
В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы индекса .
Усечённая группа кос
Для группа , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос , а также дополнительной серией соотношений вида
для
называется усечённой группой кос.
Например, при данное описание является стандартным заданием симметрической группы:
.
Две косы из нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции
в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью -преобразований (см. ).
Как показал Гарольд Коксетер, при группа конечна тогда и только тогда, когда
,
причем в этих случаях порядок группы равен, соответственно, и
Группа гомотопических кос
Для группа , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос , а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида
для и элемента подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами
где символ обозначает коммутатор элементов и , а символ обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических кос.
Две косы из нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции
в том и только том случае, если они гомотопны.
См. также Коса (математика) Теория кос Группа классов преобразований поверхности Группа крашеных кос
Примечания
Литература
Ссылки
CRAG: CRyptography and Groups at Algebraic Cryptography Center Contains extensive library for computations with Braid Groups P. Fabel, Completing Artin’s braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991 P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
Java-приложение , моделирующее группу B5. C. Nayak and F. Wilczek’s connection of projective braid group representations to the fractional quantum Hall effect Presentation for FradkinFest by C. V. Nayak N. Read’s criticism of the reality of Wilczek-Nayak representation
Категория:Теория кос