(сигнум, от — знак) — кусочно-постоянная функция вещественного аргумента. Обозначается . Определяется следующим образом:
Функция не является элементарной.
Часто используется представление
При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.
Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.
История и обозначения
Функцию ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: . В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с , функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как .
Свойства функции
Область определения: . Область значений: . Гладкая во всех точках, кроме нуля. Функция нечётна. Точка является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны и соответственно. и для . Иначе говоря, при . , где — дельта-функция Дирака. . .
Вариации и обобщения
Представление
даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом , где — аргумент комплексного числа . При результатом функции является точка единичной окружности, ближайшая к числу . Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу . Это же направление в полярных координатах задаёт угол . Неопределённое направление, отвечающее числу , выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell.
Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как , определяется следующим образом:
Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и MapleMaple V documentation. May 21, 1998.
См. также Функция Хевисайда
Примечания
Литература
Категория:Кусочно-линейные функции