Ско́бки Пуассо́наГантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X. (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался Пуассоном в 1809 годуPoisson S. D. Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les questions de Mechanique. - Journ. Politechn. 1809 t. VIII, p. 266-344, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.
Скобки Пуассона векторных полей Пусть и — векторные поля на гладком многообразии , — оператор производной Ли по направлению векторного поля . Коммутатор операторов и есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле , для которогоIvan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry , — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
Компоненты векторного поля в произвольной системе координат выражаются через компоненты и по формуле
Таким образом, поле не зависит от системы координат которая используется в формуле.
Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:
В голономном базисе оно принимает вид
Пример Пусть есть группа диффеоморфизмов многообразия . Тогда где — скобка Пуассона, — дифференциал в единице группы. Символ обозначает образ элемента .
Пусть является кривой, которая выходит из с начальной скоростью и пусть является такой же кривой с начальной скоростью Тогда
при
Свойства
Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.
Линейность: — функция, не зависящая от и . Антикоммутативность:
Тождество Якоби: Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.
Скобки Пуассона функций Пусть — симплектическое многообразие. Симплектическая структура на позволяет ввести на множестве функций на операцию скобок Пуассона, обозначаемую или и задаваемую по правилуВ некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении и формуле для коммутатора полей.
где (также ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона . Оно определяется через дифференциал функции и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой . Именно, для любого векторного поля
Алгебра Ли функций Гамильтона В силу кососимметричности и билинейности скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:
Выражение
является линейной функцией вторых производных каждой из функций . Однако
Это выражение не содержит вторых производных . Аналогично, оно не содержит вторых производных и , а потому
то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции , то есть
— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.
Свойства Скобки Пуассона невырождены:
Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:
Функция является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом тогда и только тогда, когда Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби). Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона , заданной на многообразии . Полная производная по времени от произвольной функции запишется в виде
В канонических координатах скобки Пуассона принимают видВ [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].
Философское значение
Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.Дирак Поль "Основные уравнения квантовой механики" УФН 122 611–621 (1977)Дирак П. А. М. Воспоминания о необычайной эпохе. — М., Наука, 1990. — с. 20-21Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М., Физматлит, 1960. — с. 125-130Разумовский О. С. Скобки Пуассона как метод // Яненко Н. Н., Преображенский Н. Г., Разумовский О. С. Методологические проблемы математической физики. — Новосибирск, Наука, 1986. — с. 246-263
Примечания Комментарии
Источники
Категория:Симплектическая геометрия Категория:Теоретическая механика Категория:Билинейные операторы Категория:Гамильтонова механика Пуассона скобка