Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.
Обычно обозначается .
Свойства
Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок). Если точки , , таковы, что каждый из отрезков , и делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля. Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна. Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера). Расстояние между ортоцентром и точкой Нагеля равно диаметру окружности Фурмана и равно . Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром. Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника. Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929. Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-й абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf . Треугольник Нагеля * Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника определяется вершинами , и , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника и точка противоположна стороне , и т. д.
Свойства Описанная вокруг треугольника окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые , и делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля — X(8). Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности. Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.
Замечание Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.
История Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.
См. также Вписанная окружность Вписанная и вневписанные в треугольник окружности Замечательные точки треугольника Описанная окружность Треугольник точек касания вневписанных окружностей Точка Жергонна
Примечания
Ссылки Точка Нагеля, живой чертёж М. Б. Балк, В. Г. Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61
Н Категория:Планиметрия Категория:Геометрия треугольника