Интегральное преобразование Абеля — вариант интегрального преобразования, установленный в 1826 году Нильсом Абелем, часто используемый при анализе сферически или цилиндрически симметричных функций: . Если функция стремится к нулю быстрее, чем , то можно вычислить обратное преобразование Абеля: .

В обработке изображений преобразование используется для того, чтобы получить проекцию симметричной, оптически тонкой функции испускания на плоскость. Обратное преобразование используется для восстановления функции по её проекции (например, фотографии).

Геометрическая интерпретация

Преобразование Абеля в двумерном случае может рассматриваться как проекция осесимметричной функции вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии от оси. Наблюдатель увидит величину: , где  — осесимметричная функция. Предполагается, что наблюдатель находится при и таким образом пределы интегрирования равны . Все линии наблюдения параллельны оси .

Поскольку радиус соотносится с и как , то: . Так как переменная при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как , так и выражение для ) является чётной функцией, то есть: . Замена переменной на даёт формулу преобразования Абеля: . Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осесимметричной функции , где является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси . Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости . При этом: , что является преобразованием Абеля для в переменных и .

Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция , где .

Проекция на плоскость будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как , где , при интегрировании даёт: , что опять является преобразованием Абеля для в переменных и .

Связь с другими преобразованиями Преобразование Абеля является членом так называемого цикла Фурье — Ханкеля — Абеля. Например, для случая двух измерений, если обозначить через преобразование Абеля,  — преобразование Фурье и через  — преобразование Ханкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполняться равенство , то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье, то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Ханкеля.

Литература

Категория:Интегральные преобразования