Лине́йно свя́зное простра́нство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Определения Рассмотрим отрезок числовой прямой с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек найдётся непрерывное отображение такое, что
Пусть дано подмножество . Тогда на нём естественным образом определяется топология , индуцированная . Если пространство линейно связно, то подмножество также называется линейно связным в .
Связанные определения Каждое линейно связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства . Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством). Если существует база топологии пространства , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально линейно связными.
Примеры
Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств. Дополнение , где — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в коразмерности 2 и больше. Замыкание графика функции при — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок на оси ординат. Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.
Свойства Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно. Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно. Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связан. Если пространство линейно связно и , то гомотопические группы и изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма .
Линейная связность на числовой прямой Будем считать, что , а — стандартная топология числовой прямой. Тогда Подмножество линейно связно тогда и только тогда, когда
то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком. Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
Обобщение Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство называется связным в размерности , если любые два отображения -мерной сферы в , где , гомотопны. В частности, -связность — это то же, что линейная связность, а -связность — то же, что односвязность.
Примечания
Литература
Категория:Общая топология