Уравнение Монжа — Ампера — дифференциальное уравнение в частными производными 2-го порядка. Его наиболее общая форма для функции от двух независимых переменных может быть записана как:
где используются стандартные обозначения для частных производных:
Канонической формой уравнения Монжа — Ампера принято считать выражение:, где — заданная функция своих аргументов.
Тип уравнения определяется знаком детерминанта гессиана функции и поведением функции :
Эллиптический тип: Если на решении. В этом случае уравнение формально аналогично уравнению Пуассона, но является нелинейным.
Гиперболический тип: Если на решении. Аналогично нелинейному волновому уравнению.
Параболический тип: Если на решении.
Данная классификация является существенной, так как методы решения и их свойства кардинально различаются для эллиптического и гиперболического случаев.
История Уравнения такого типа впервые рассматривались Монжем (1784) и Ампером (1820).
Применение Задача о поверхностях с предписанной гауссовой кривизной: Пусть — область в , и — заданная непрерывная функция. Задача состоит в нахождении функции , график которой (поверхность) в имеет гауссову кривизну в каждой точке. Для поверхности, заданной графиком , гауссова кривизна выражается формулой: .
Таким образом, задача сводится к решению эллиптического уравнения Монжа — Ампера:. Комплексное уравнение Монжа — Ампера и геометрия Кэлера: Пусть — компактное кэлерово многообразие размерности . Любая другая метрика Кэлера в том же классе когомология может быть записана как , где — некоторая функция, а и — операторы Дольбо. Форма объема, ассоциированная с метрикой , есть . Задача нахождения метрики Кэлера — Эйнштейна с предписанной формой объема приводит к комплексному уравнению Монжа — Ампера: .
В локальных координатах, если , то это уравнение принимает вид:
, что является многомерным аналогом исходного уравнения. Гипотеза Калаби утверждает существование и единственность (с точностью до аддитивной константы) гладкого решения этого уравнения на компактном многообразии при условии .
Задача оптимального транспорта по Монжу — Канторовичу: Пусть и — два пространства с вероятностными мерами, и — функция стоимости. Задача Монжа состоит в нахождении измеримого отображения , которое переправляет меру в меру (т.е. для всех измеримых ) и минимизирует полную стоимость . При определенных условиях на функцию стоимости (например, ) и меры, отображение является градиентом некоторой выпуклой функции : . Условие переправки меры в меру (известное как условие сохранения массы) приводит к уравнению Монжа — Ампера -почти всюду: . Это уравнение понимается в обобщенном смысле (Александрова), поскольку выпуклая функция может быть не дважды дифференцируемой в классическом смысле. Теория регулярности для таких уравнений является центральной в задаче оптимального транспорта.
Литература
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Монжа — Ампера Категория:Андре-Мари Ампер Монжа — Ампера