Ко́мпле́ксные чи́сла (от — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечаниеДва возможных ударения указаны согласно следующим источникам. Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа. Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число. Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа. В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка). Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).) — числа вида , где и — вещественные числа, а — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: . Множество комплексных чисел обычно обозначается символом. Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид . Главное свойство — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен -й степени () имеет корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечиваПри условии непротиворечивости системы вещественных чисел..
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.
Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в электротехнике, обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.
Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.
Комплексная арифметика
Связанные определения Всякое комплексное число состоит из двух компонентов: Величина называется вещественной частью числа и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается или (от — действительный). В источниках иногда встречается готический символ: . Если , то называется чисто мнимым числом. Вместо обычно пишут просто . В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках мнимыми могут называться любые комплексные числа , у которых . Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется. Величина называется мнимой частью числа и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается или (от — мнимый). В источниках иногда встречается готический символ: . Если , то является вещественным числом. Вместо обычно пишут просто . Например, комплексный ноль обозначается просто как .
Противоположным для комплексного числа является число . Например, для числа противоположным будет число .
В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из вытекало , а из и вытекало ). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно: означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).
Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.
Сложение и вычитание Определение сложения и вычитания комплексных чисел: , .
Следующая таблица показывает основные свойства сложения для любых комплексных .
Свойство Алгебраическая запись Коммутативность (переместительность) Ассоциативность (сочетательность) Свойство нуля Свойство противоположного элемента Выполнение вычитания через сложение
Умножение Определение произведения комплексных чисел и
Следующая таблица показывает основные свойства умножения для любых комплексных .
Свойство Алгебраическая запись Коммутативность (переместительность) Ассоциативность (сочетательность) Свойство единицы Свойство нуля Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения
Правила для степеней мнимой единицы: и т. д. То есть для любого целого числа верна формула , где выражение означает получение остатка от деления на 4.
После определения операций с комплексными числами выражение можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения: .
Деление Комплексное число называется сопряжённым к комплексному числу (подробнее ниже).
Для каждого комплексного числа , кроме нуля, можно найти обратное к нему комплексное число . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число , комплексно сопряжённое знаменателю .
Определим результат деления комплексного числа на ненулевое число . Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.
Другие операции Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.
Основные отличия комплексных чисел от вещественных Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно комплексных корней (основная теорема алгебры).
В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень -й степени из ненулевого числа имеет различных комплексных значений. См., например, корни из единицы.
Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного.
Замечания Число не является единственным числом, квадрат которого равен . Число также обладает этим свойством.
Выражение , ранее часто использовавшееся вместо , в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что ранее второй вариант записи считался допустимым.
Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи: . Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы: .
Геометрическое представление
Комплексная плоскость
Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу соответствует точка плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.
Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент).
В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий . Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока..
Пример: умножение на поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.
Модуль Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа обозначается (иногда или ) и определяется выражением .
Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.
Для любых комплексных имеют место следующие свойства модуля: 1) , причём только при ; 2) (неравенство треугольника); 3) ; 4) ; 5) для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости; 6) модуль числа связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями: .
Аргумент Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа измеряется в радианах и обозначается . Из этого определения следует, что .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение , что . Главное значение может обозначаться .
Некоторые свойства аргумента: 1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:
3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя: .
Сопряжённые числа
Если комплексное число равно , то число называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком: .