p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.
Примеры Циклическая группа порядка и прямые произведения таких групп. Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров. Группа Гейзенберга по модулю — простейший пример некоммутативной p-группы. Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы. Силовские p-группы (см. Теоремы Силова)
Свойства Центр нетривиальной конечной p-группы является нетривиальной группой. В частности, все p-группы нильпотентны. Более того, если нормальная подгруппа в p-группе , то . Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям. Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова). Более того любая группа порядка является p-группой (следует из теоремы Лагранжа). При число неизоморфных групп порядка асимптотически равно .
См. также Задача Бёрнсайда
Литература Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. </span>— ISBN 5-8114-0616-9.(рус.) Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.
Категория:Теория групп