Нильпотентный идеал — идеал кольца , для которого существует натуральное число , такое, что ( — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из элементов идеала , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число , такое, что произведение любых элементов идеала равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая .

В кольце вычетов по модулю , где  — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).

В конечномерной алгебре Ли существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов , для которых эндоморфизм для нильпотентен.

Связь с ниль-идеалами Всякий нильпотентный идеал является , обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементов.

В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентным. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема Левицкого.

Примечания

Литература

Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.

Категория:Идеалы Категория:Теория колец