Почти всюду обычно означает за исключением множества меры нуль. Точнее, если утверждение зависит от точки в пространстве с мерой, то говорят, что оно выполнено почти всюду, если оно выполняется для всех точек за исключением точек в некотором множестве меры нульПОЧТИ ВСЮДУ — Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985..
Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду или a.e. от . Например для функций и выражения
означают, что равенство выполняется при почти всех значениях переменной .
Определение Пусть — пространство с мерой. Обозначим символом множество точек из , для которых верно некоторое утверждение . Говорят, что утверждение выполнено почти всюду (п.в.), если
Замечания Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым. Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).
Примеры Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо , где — мера Лебега на . Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.
См. также Сходимость почти всюду
Примечания
Категория:Теория меры Категория:Математические термины