Период Пизано — это длина периода последовательности Фибоначчи по модулю заданного натурального числа m.
Примеры Например, определим период Пизано при . Пусть — -е число Фибоначчи. — остаток от деления -го числа Фибоначчи на число . Заполнив следующую таблицу,
+ Определение при 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 … 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 … 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0 …
заметим, что первые шесть чисел (0, 1, 1, 2, 3, 1) последовательности повторяются бесконечно, значит для период Пизано равен шести: .
Последовательность, составленная из периодов Пизано, получила номер в OEIS, её начало показано в следующей таблице.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3 8 6 20 24 16 12 24 60 10 24 28 48 40 24
Периодичность Последовательность Фибоначчи по модулю любого натурального числа периодична, так как среди первых пар чисел найдутся две равные пары для некоторых . Поэтому для всех натуральных k выполняется , то есть, последовательность периодична.
Свойства Если a и b взаимно просты, то . Или, если разложить на простые множители: , то (следствие китайской теоремы об остатках).
, где за обозначено количество нулей в периоде, а за обозначен индекс первого нуля (не считая ). Более того, известно что .
Для простого числа и целого числа выполняется . Более того, равенство выполнено для всехРезультат поиска простых чисел Уолла — Суня — Суня проектом PrimeGrid (2022). простых , меньших , и неизвестно, существуют ли вообще такие простые числа, для которых оно не выполняется (см. простое число Уолла — Суня — Суня).
Если — простое число, то справедливы следующие утверждения: при число является делителем ; при число является делителем .
Для всех положительных целых чисел справедливо неравенство , причём равенство в нём достигается только на числах вида .
Примечания
Ссылки Charles W. Campbell II, «The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j» Marc Renault, «The Fibonacci Sequence Modulo m»
Категория:Целочисленные последовательности Категория:Теория чисел Категория:Числа Фибоначчи