Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
Примеры
Свойства Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее: она имеет вещественные собственные значения её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:
из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис матрицу A можно привести к диагональному виду: , где — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали. Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид: , где — единичная матрица, в любом базисе. Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, то есть
Положительно (отрицательно) определённые матрицы Симметричная матрица размерностью называется положительно определённой если выполняется Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства. Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.
См. также Персимметричная матрица Транспозиционная матрица Матрица Лемера
Литература Беллман Р. Введение в теорию матриц. — : Мир, 1969 (djvu). Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — : Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — : Наука, 1966 (djvu). Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — : Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9 Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — : Наука, 1968. — 432 с.
Категория:Типы матриц