Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

Определение Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой: . Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде: , то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве , то её характеристическая функция имеет вид: , где обозначает скалярное произведение в .

При разложении логарифма характеристической функции в степенной ряд:

коэффициенты называются полуинвариантами (кумулянтами). Они описывают числовые характеристики распределения случайной величины: первый кумулянт равен математическому ожиданию, второй определяет дисперсию, более высокие характеризуют асимметрию и форму распределения.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Если случайная величина дискретна, то есть , то .

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда .

Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то .

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда .

Свойства характеристических функций Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть есть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности. Характеристическая функция всегда ограничена: . Характеристическая функция в нуле равна единице: . Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна: . Характеристическая функция как функция случайной величины однородна: . Характеристическая функция суммы взаимно независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда . Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных верно равенство , где означает комплексно сопряжённую с функциюБ. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975. Теорема обращения (Леви). Пусть  — функция распределения, а  — её характеристическая функция. Если и  — точки непрерывности , то

Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65. Здесь означает комплексно сопряжённое к число.

Вычисление моментов Если случайная величина имеет начальный -й момент, то характеристическая функция имеет непрерывную -ю производную, то есть , и более того: .

Обратное преобразование Фурье Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда если дискретна и принимает целые значения, то ; если абсолютно непрерывна, и  — её плотность, то .

Достаточные условия Чтобы функция  была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы  была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией, и при (теорема Титчмарша — Пойи).

Необходимые и достаточные условия Пусть  — непрерывная функция и . Для того, чтобы функция была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство (Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь означает комплексно сопряжённое к число.

Характеристическая функция случайной величины со значениями в локально компактной абелевой группе

Пусть — локально компактная абелева группа, — её группа характеров, — значение характера на элементе . Пусть — случайная величина со значениями в , а — её распределение. Характеристическая функция случайной величины (распределения ) задаётся формулой

См. также Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций). Прямая и обратная предельная теорема Теорема Титчмарша — Пойи Теорема Бохнера — Хинчина

Примечания

Литература Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972. Лукач Е. Характеристические функции. — М.: Наука, 1979. — 424 с. Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces, Academic Press, New York — London, 1967.

Категория:Теория вероятностей Категория:Преобразование Фурье