Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями , где параметр — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна , а непоявления — . Наименование связано с тем, что вероятности убывают в геометрической прогрессии. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри). Обозначение — .
Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной -му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при .
Свойства Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно: , , , .
Одно из особенных свойств — : для любых целых неотрицательных и условная вероятность геометрически распределённой случайная величины показывает независимость от предыдущих значений: , иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного.
Из всех дискретных распределений с носителем и фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
Геометрическое распределение бесконечно делимо.
Если геометрически распределённые случайные величины независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом: .
Примеры и приложения В игральных костях случайная величина , соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром , то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — , , соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром , равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при вероятность попадания при третьем выстреле равна .
Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания количество заявок на обслуживание распределено геометрически, и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования.
Примечания
Литература
Категория:Дискретные распределения Категория:Решётчатые распределения