Ко́пула ( «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на -мерном единичном кубе , такая, что каждое её частное распределение равномерно на интервале .
Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения с одномерными маргинальными функциями распределения и существует копула, такая что
где мы отождествляем распределение с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.
Некоторые свойства копулы имеют вид:
Границы Фреше—Хёфдинга для копулы Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:
Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:
Архимедовы копулы Одна частная простая форма копулы:
где называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:
Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.
Копула Клейтона (Clayton):
Для в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.
Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.
Эмпирическая копула При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так: Число пар таких что
где x(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.
Гауссова копула Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде:
,
где: — частные распределения; — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей размерностью ; — обратная функция гауссовского распределения.
Применения
Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.
Примечания
Литература Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113—130. Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription) Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25. Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5. Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6. Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.
Ссылки
Примеры генерации копул в Matlab
Категория:Теория вероятностей