Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.
Возникновение термина Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»( — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.
Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.
В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.
Классическая механика В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом и зависит от параметра , адиабатичность изменения параметра определяется условием . Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра
Внутренние переменные и меняются со временем быстро, с периодом . Но энергия системы является интегралом движения при неизменном параметре . При изменении параметра во времени . При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр неизменен. , где усреднение определено как . Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной : . В таком случае период равен , где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.
Записывая импульс как функцию энергии , координаты и параметра, после некоторых преобразований можно получить . Окончательно можно записать , где величина
и будет адиабатическим инвариантом.
Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами и . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траекторияФазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины и в процессе движения системы. является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.
Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться .
Пример. Гармонический осциллятор Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид , где — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии и поэтому имеет вид . Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями и , соответственно его площадь, делённая на , равна . Таким образом, величина является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.
Свойства адиабатического инварианта Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на . , или , где — циклическая частота.
С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.
Примечания
Литература
Категория:Классическая механика Категория:Физические системы