Бина́рное (двуме́стное) отноше́ние (соответствие) — отношение между двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: . Бинарное отношение на множестве  — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

Связанные определения Множество всех первых компонент пар из называется областью определения отношения и обозначается как .

Множество всех вторых компонент пар из называется областью значений отношения и обозначается как .

Инверсия (обратное отношение)  — это множество и обозначается, как . (суперпозиция) бинарных отношений и  — это множество и обозначается, как .

Свойства отношений Бинарное отношение на некотором множестве может обладать различными свойствами, например: рефлексивность: , антирефлексивность (иррефлексивность): , корефлексивность: , симметричность: , антисимметричность: , асимметричность: , свойство Мура — Смита (иерархичность): , транзитивность: , евклидовость: , полнота (или связностьДубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. — М.: Наука, 1986. С. 48.): , связность (или слабая связность): , трихотомия: верно ровно одно из трёх утверждений: , или .

Виды отношений Рефлексивное транзитивное отношение называется предпорядком. Рефлексивное транзитивное отношение со свойством Мура — Смита называется направлением. Рефлексивное транзитивное симметричное отношение называется отношением эквивалентности. Рефлексивное транзитивное антисимметричное отношение называется отношением (частичного) порядка. Антирефлексивное транзитивное антисимметричное, то есть асимметричное и транзитивное, отношение называется отношением строгого порядка. Полное антисимметричное (для любых выполняется или ) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка. Антирефлексивное антисимметричное отношение называется отношением доминирования.

Виды бинарных отношений Обратное отношение (отношение, обратное к ) — это двуместное отношение, состоящее из пар элементов , полученных перестановкой пар элементов данного отношения . Обозначается: . Для данного отношения и обратного ему верно равенство: . Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого. Рефлексивное отношение — двуместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого этого множества элемент находится в отношении к самому себе, то есть для любого элемента этого множества имеет место . Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство. Антирефлексивное отношение (иррефлексивное отношение; так же, как антисимметричность не совпадает с несимметричностью, иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого элемента этого множества неверно, что оно находится в отношении к самому себе (неверно, что ). Транзитивное отношение — двуместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых из и следует (). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее». Нетранзитивное отношение — двуместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых этого множества из и не следует (). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y» Симметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов и этого множества из того, что находится к в отношении , следует, что и находится в том же отношении к  — . Примером симметричных отношений могут быть равенство, отношение эквивалентности, подобие, одновременность. Антисимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из и следует (то есть и выполняются одновременно лишь для равных между собой членов). Асимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из следует . Пример: отношения «больше» (>) и «меньше» (<). Отношение эквивалентности — бинарное отношение между объектами и , являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, подобие, одновременность. Отношение порядка — отношение, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности: отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует нестрогий порядок, а отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — строгий порядок. Отношение толерантности — бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности и симметричности, но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности. Функция одного переменного — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что каждому значению отношения соответствует лишь единственное значение . Свойство функциональности отношения записывается в виде аксиомы: . Биекция (взаимно-однозначное отношение) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению соответствует единственное значение , и каждому значению соответствует единственное значение .

Операции над отношениями Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств и суть подмножества множества , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных , : , , .

Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.

Например, , , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрогого порядка, а их пересечение пусто.

Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом. Если , то обратным отношением называется отношение , определённое на паре , и состоящее из тех пар , для которых . Например, .

Пусть , . Композицией (или произведением) отношений и называется отношение такое, что: .

Например, для отношения строгого порядка на множестве натуральных числе его умножение на себя определено следующим образом: .

Бинарные отношения и называются перестановочными, если . Для любого бинарного отношения , определённого на , имеет место , где символом обозначено равенство, определённое на . Однако равенство не всегда справедливо.

Имеют место следующие тождества: , , , , , , .

Аналоги последних двух тождеств для пересечения отношений не имеют места.

Примечания

Литература

Категория:Математические отношения