Диофа́нт Александри́йский (; ) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. Его иногда называют «отцом алгебры», но этот титул более уместно присвоить аль-Хорезми.
В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.
Биография
Диофант работал позднее цитируемого им греческого математика Гипсикла (II век до н. э.).
«Достопочтеннейший Дионисий», которому Диофант посвятил свою Арифметику, как полагают, епископ середины III в. Дионисий Александрийский; около этого времени о Диофанте писал Теон Александрийский.
В Палатинской антологии (книга XIV, задача номер 126) приведена неустановленной достоверности эпитафия Диофанта, содержащая математическую задачу, популяризованную «Занимательной алгеброй» Я. И. Перельмана, ниже приведён перевод С. П. БоброваСм., например, в книге: . и оригинальный древнегреческий текст: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. то есть Диофант прожил 84 года; женился в возрасте 33 лет, в 38 лет у него родился сын, скончавшийся в возрасте 42 летПродолжительность жизни Диофанта корень уравнения:. Текст этой эпитафии в XXI веке широко распространён и за пределами России, например, в Китае включен во многотиражный школьный учебник математики.
Арифметика Диофанта
Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. Сохранились только 6 (или 10, см. ниже) первых книг из 13.
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» () и обозначает буквой , квадрат неизвестной — символом (сокращение от — «степень»), куб неизвестной — символом (сокращение от — «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.
Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами (сокращение от — «равный»).
Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у аль-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189, вместе с четырьмя из арабской части — 290), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.
Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.
Влияние Арифметики на развитие математики
В X веке Арифметика была переведена на арабский язык (см. Куста ибн Лука), после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком.
Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком, он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма.
В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия. Однако существенный разрыв в методике решений задач первых трёх и последних трёх книг хорошо заполняется четырьмя книгами арабского перевода. Это заставляет пересмотреть результаты предыдущих исследований.
Другие сочинения Диофанта Трактат Диофанта О многоугольных числах () сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.
Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей () и Об умножении () также сохранились лишь отрывки.
Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.
См. также Диофантово уравнение Математика в Древней Греции
Примечания
Литература Сочинения: Диофант. «Арифметика» и схолии / По изд. Таннери (греческие тексты). Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах () / Пер. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1974. — 328 с. — 17500 экз. Sesiano J. Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic translation attributed to Qusṭā ibn Lūqā / Jacques Sesiano. — Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. (Арабский текст и английский перевод) Диофант. «Арифметика» — начато издание в серии «Collection Budé» (2 тома: Кн. 4—7. ).
Исследования:
Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта // Историко-математические исследования. — М., 1978. — Вып. XXIII. — С. 192—225. Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых: (От Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. — 1975. — Вып. 20. — С. 104—124. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (Репринт.: М.: ЛКИ, 2007). Пер. на нем. яз.: Diophant und diophantische Gleichungen. — Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Пер. на англ. яз.: Diophantus and Diophantine Equations / Transl. by A. Shenitzer with the editorial assistance of H. Grant and updated by J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. — № 20. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997. Башмакова И. Г. Диофант и Ферма: (К истории метода касательных и экстремумов) // Историко-математические исследования. — М., 1967. — Вып. VII. — С. 185—204. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. — Т. I: С древнейш. времён до начала Нов. времени / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки // Историко-математические исследования. — М., 1975. — Вып. 20. — С. 63 — 103. Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования. — М., 2003. — Вып. 8 (43). — С. 267—277. Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. — Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964). Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria // Historia Mathematica. — 20. — 1993. — P. 180—192. Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution // Historia Mathematica. — 34. — 2007. — P. 289—305. Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique. — De Gruyter, 2013.
Ссылки
Категория:Математики Древней Греции Категория:Математики Древнего Рима Категория:Персоналии по алфавиту Категория:Математики по алфавиту Категория:Математики III века Категория:Математики в теории чисел Категория:Античные писатели, чьи труды дошли до нашего времени Категория:Писатели III века