Простое кольцо — кольцо , такое, что и в нет двусторонних идеалов, отличных от и .
Если кольцо таково, что , и аддитивная группа имеет простой порядок, то кольцо — простое, так как в нет собственных подгрупп.
Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Ассоциативное коммутативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда, когда — простое кольцо. Кольцо матриц порядка над полем — простое.
Теорема Веддербёрна: простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом изоморфно кольцу всех матриц порядка над некоторым телом. При этом определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела кольцо является простым кольцом.
Все простые кольца и, следовательно, первичны. Построены нётеровы простые кольца без делителей нуля, отличные от тел; также известны нётеровы простые кольца с делителями нуля без идемпотентов.
Литература
Категория:Теория колец