Цикл — граф, состоящий из единственного цикла, или, другими словами, некоторого числа вершин, соединённых замкнутой цепью. Граф-цикл с n вершинами обозначают как Cn. Число вершин в Cn равно числу рёбер и каждая вершина имеет , то есть любая вершина инцидентна ровно двум рёбрам.

Терминология Граф-цикл имеет много синонимов. Используют термины простой граф-цикл и циклический граф, хотя последний термин употребляется не часто, поскольку он может относиться к графам, не являющимся ациклическими. Иногда употребляются термины цикл, многоугольник или n-угольник. Цикл с чётным числом вершин называют чётным циклом, а с нечётным числом вершин — нечётным циклом.

Свойства Граф-цикл: связен 2-регулярен эйлеров гамильтонов раскрашиваем в два цвета тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не имеет нечётных циклов (в качестве подграфов) (Кёниг, 1936). рёберно-2-раскрашиваем тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин. Вершинно-раскрашиваем в 3 цвета и рёберно-3-раскрашиваем для любого числа вершин. с постоянным расстоянием единица

Вдобавок: Поскольку графы-циклы можно нарисовать в виде правильных многоугольников, симметрии цикла с n вершинами те же самые, что и у правильного многоугольника с n сторонами, то есть диэдрическая группа порядка 2n. В частности, существуют симметрии, переводящие любую вершину в любую другую вершину и любое ребро в любое другое ребро, так что n-цикл является симметричным графом.

Ориентированный граф-цикл

Ориентированным графом-циклом называется ориентированная версия графа-цикла, в котором все дуги направлены в одном и том же направлении.

В ориентированном графе множество дуг, которые содержат хотя бы одну дугу из каждого ориентированного цикла, называется . Подобным образом, множество вершин, содержащих по меньшей мере одну вершину из каждого ориентированного цикла, называется разрезающее циклы множество вершин.

Ориентированный граф-цикл имеет и .

Ориентированные графы-циклы являются графами Кэли для циклических групп (см., например, Тревизана [Trevisan]).

См. также Полный двудольный граф Путь (теория графов) Полный граф

Примечания

Ссылки (обсуждение как 2-регулярных графов-циклов, так и групповые концепции ) , Characters and Expansion.

Категория:Регулярные графы Категория:Параметрические семейства графов