Конфигурацией Мёбиуса — Кантора — конфигурация, состоящая из восьми точек и восьми прямых, такая, что на каждой прямой лежат по три точки и через каждую точку проходят по три прямые. Невозможно изобразить точки и прямые с этой моделью инцидентности на евклидовой плоскости, однако можно изобразить на комплексной проективной плоскости.
Координаты Август Мёбиус задал вопрос, существует ли пара многоугольников с p сторонами в каждом, обладающих тем свойством, что каждая вершина одного многоугольника лежит на прямой, проходящей через сторону другого, и наоборот. Если такая пара существует, вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для p = 4 эта задача не имеет решения на евклидовой плоскости, но Кантор нашёл пару многоугольников такого типа в обобщённом варианте задачи, в котором вершины и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости. Таким образом, в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для p = 4, пара взаимно вписанных четырёхугольника на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора.
Коксетер предложил следующие простые однородные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса — Кантора: (1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1), (−1,ω2,1), (1,ω,0), (0,1,0), (0,−1,1), где ω обозначает комплексный кубический корень из 1.
Абстрактная модель инциденций
В более общем виде конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно описать как систему восьми точек и восьми троек точек, в которой каждая точка входит ровно в три тройки. При дополнительных условиях (естественных для точек и прямых), а именно, что никакая пара точек не принадлежит более чем двум тройкам и что никакие две тройки не имеют в пересечении более двух точек, любые две системы этого типа эквиваленты с точностью до перестановки точек. Таким образом, конфигурация Мёбиуса — Кантора является единственной проективной конфигурацией типа (8383).
Граф Мёбиуса-Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по вершине для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.
Точки и прямые конфигурации Мёбиуса — Кантора можно описать как матроид, элементами которого являются точки конфигурации, а нетривиальные базы — это прямые конфигурации. В этом матроиде множество S точек является независимым в том и только в том случае, когда либо |S| ≤ 2, либо S состоит из трёх неколлинеарных точек. Данный матроид получил название матроида Маклейна, после того как Маклейн доказал, что такой матроид не может быть ориентирован. Это один из немногих известных неориентируемых матроидов.
Родственные конфигурации Решение задачи Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений p больше четырёх также представляет интерес. В частности, одно из возможных решений для p = 5 — это конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых, допускающая реализацию в евклидовом пространстве.
Конфигурация Мёбиуса — это трёхмерный аналог конфигурации Мёбиуса — Кантора, состоящий из двух взаимно вписанных тетраэдров.
Конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно расширить путём добавления четырёх прямых через четыре пары точек, которые до этого не были соединены прямыми, и добавления девятой точки на пересечении этих четырёх прямых. В результате получим конфигурацию Гессе, которая, как и конфигурация Мёбиуса — Кантора, может быть реализована в комплексных координатах, но не в вещественных. Удаление любой точки из конфигурации Хессе даёт копию конфигурации Мёбиуса — Кантора.
Примечания
Литература . . . . . В Gesammelte Werke (1886), том 1, стр. 439—446. .
Ссылки
Категория:Проективная геометрия Категория:Конфигурации