Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel (väčšinou reálnych alebo komplexných), pričom hodnota n-tého člena sa rovná q-násobku predchádzajúceho člena. Číslo q, nazývajúce sa kvocient, môžeme určiť pomerom dvoch za sebou idúcich členov postupnosti. Vo všeobecnosti je geometrická postupnosť tvorená q-násobkami nenulového čísla a:
Ľubovoľný n-tý člen tejto postupnosti môžeme určiť nasledovne (ak označíme ):
Nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti sa nazýva geometrický rad, ktorý v prípade absolútnej hodnoty kvocientu menšej ako 1 konverguje rovnomerne a absolútne, platí pritom
Vlastnosti Uvažujme geometrickú postupnosť s nenulovým počiatočným členom a takým kvocientom , ktorý nie je rovný nule ani jednotke. Potom pre ľubovoľný n-tý člen (kde n je prirodzené číslo alebo nula), ktorý vo všeobecnosti môže byť komplexným číslom, platí:
pre
pre
Dôkaz Prvá vlastnosť je len definícia geometrickej postupnosti. Pri dôkazoch ostatných vlastností budeme využívať dôkaz matematickou indukciou.
Dôkaz druhej vlastnosti Dokážme druhú vlastnosť pomocou matematickej indukcie. Pre platí
Vezmime ďalej a predpokladajme, že tvrdenie pre platí, potom
čo sme chceli ukázať.
Dôkaz tretej vlastnosti Pri dôkaze tretej vlastnosti postupujeme obdobne. Vezmime ľubovoľné, ale fixné prirodzené číslo. Potom pre máme
Pre za predpokladu pravdivosti pre máme
Dôkaz štvrtej vlastnosti V súlade s dôkazom matematickou indukciou ukážeme najprv platnosť pre :
Vezmime teraz a predpokladajme platnosť pre :
Dôkaz piatej vlastnosti Položme , tvrdenie je potom triviálne pravdivé. Nech teraz tvrdenie pre platí a dokážme pravdivosť pre :
Geometrický rad
Definícia a konvergencia geometrického radu Nech máme postupnosť čiastkových súčtov geometrickej postupnosti s kvocientom takým, že , pričom. Vo všeobecnosti považujme členy postupnosti a kvocient za komplexné čísla. Potom platí, že postupnosť je konvergentná a navyše
Túto limitu nazývame geometrickým radom. Platí teda
Dôkaz konvergencie Čiastkový súčet môžeme na základe piatej vlastnosti z predchádzajúcej časti napísať ako
Vypočítajme limitu čiastkových súčtov
nakoľko platí pre komplexné s absolútnou hodnotou menšou ako 1.
Rovnomerná a absolútna konvergencia geometrického radu Nech je geometrický rad s kvocientom , pričom a nech všetky uvažované čísla sú komplexné. Potom rad konverguje absolútne na otvorenom kruhu v Gaussovej komplexnej rovine s polomerom 1 a rovnomerne vzhľadom na na každom uzavretom kruhu s polomerom menším ako .
Pozri aj aritmetická postupnosť
Kategória:Algebra Kategória:Postupnosti čísel
Referencie