Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp a je zobrazenie , pri ktorom pre všetky prvky platí , pričom je operácia grupy a operácia grupy (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).
Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homomorfizmu : (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy na neutrálny prvok grupy ), (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)
Intuícia Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia je homomorfizmus ak pre každé také, že máme
Inými slovami, grupa má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako a homomorfizmus ju zachováva.
Typy homomorfizmov grúp Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny. Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny. Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami a existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme . Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.
Obraz a jadro Nech je homomorfizmus grúp.
Potom množina sa nazýva jadro homomorfizmu . zvyčajne sa označuje (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne .
Obrazom homomorfizmu nazveme množinu (označenie pochádza z anglického slova image).
Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp je izomorfný faktorovej grupe .
Referencie
Iné projekty
Zdroje Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)
Kategória:Teória grúp