Mersennovo število (tudi Evklid-Mersennovo število) je naravno število oblike:
Mersenne je poskušal odkriti, katera števila takšne oblike so praštevila. Mersennova praštevila so v tesni povezavi s popolnimi števili. Trenutno ( ) je po vrsti znanih 44 Mersennovih praštevil za n enak :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457 in 32.582.657.
in še 4 Mersennova praštevila za n enak:
37.156.667, 42.643.801, 43.112.609 in 57.885.161.
Ni pa znano ali obstaja še kakšno Mersennovo praštevilo, ki je manjše od 45., oziroma med zadnjimi štirimi.
Velja domnevna ocena za gostoto porazdelitve Mersennovih praštevil z eksponentom :
kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.
Značilnosti
Enakost:
kaže, da je lahko praštevilo le, če je tudi n praštevilo. Praštevilskost n je nujen, ne pa tudi zadosten pogoj, da je praštevilo. To dejstvo zelo poenostavlja iskanje Mersennovih praštevil. Obratna izjava, da je nujno praštevilo, če je n praštevilo, pa ne velja. Najmanjši protiprimer je , ki je sestavljeno število. Prva druga praštevila, za katera ni praštevilo, so :
11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, ...
Ni znano ali je takšnih števil neskončno mnogo. Ta praštevila si sledijo po vrsti, (11 je peto praštevilo, 23 deveto, itd.): :
5, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, ...
Vsota neskončne vrste obratnih vrednosti Mersennovih praštevil konvergira in je enaka konstanti:
.
Za prvih 100 števk konstante zadostuje prvih enajst Mersennovih praštevil.
Seznam znanih Mersennovih praštevil Razpredelnica podaja vsa do sedaj znana Mersennova praštevila : # št. števk v datum odkritja odkritelj metoda 1 2 3 1 okoli 430 pr. n. št. starogrški matematiki 2 3 7 1 okoli 430 pr. n. št. starogrški matematiki 3 5 31 2 okoli 300 pr. n. št. starogrški matematiki 4 7 127 3 okoli 300 pr. n. št. starogrški matematiki 5 13 8191 4 1456 neznani The Prime Pages, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. poskusno deljenje 6 17 131071 6 1588 Cataldi poskusno deljenjestr. 13–18 v Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# 7 19 524287 6 1588 Cataldi poskusno deljenje 8 31 2147483647 10 1772 Euler.http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 Datum in leto odkritja nista točno znana. Možni so datumi med letoma 1752 in 1772. izboljšano poskusno deljenje 9 61 2305843009213693951 19 november 1883“En novembre de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre
est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. http://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [pridobljeno dne 2012-09-17]
Glej tudi Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), str. 553–554.