thumb|right|200px|Animacija prikazuje najenostavnejšo pitagorejsko trojico . Pitagoréjska trojica so v matematiki tri pozitivna cela števila a, b, c za katera velja a2 + b2 = c2. Ime izhaja iz Pitagorovega izreka, kjer vsak pravokotni trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic da pitagorejsko trojico. Takšen trikotnik je pitagorejski trikotnik. Velja tudi obratno: vsaka pitagorejska trojica določa pravokotni trikotnik z danimi dolžinami stranic.
Na primer:
a b c 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 9 40 41
Če je (a,b,c) pitagorejska trojica, je tudi (da,db,dc) za poljubno celo število d. Za pitagorejsko trojico rečemo, da je primitivna, če a, b in c nimajo skupnega delitelja. Trikotniki, ki jih opisujejo neprimitivne pitagorejske trojice so vedno sorazmerni trikotniku, ki jih določa manjša primitivna trojica.
thumb|right|200px|Graf raztrosa prvih 45.000 Piragorejskih trojic
Če sta m > n pozitivni celi števili, potem je:
a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2
pitagorejska trojica. Je primitivna samo in samo, če m in n nimata skupnega delitelja in je eden od njiju sod. Če sta n in m oba liha, potem bodo a, b in c sodi in pitagorejska trojica ne bo primitivna. Na ta način ne moremo tvoriti vsake pitagorejske trojice. Vsaka primitivna trojica (pri spremembi a in b) pa nastane iz edinega para števil m > n brez skupnega delitelja. To kaže, da obstaja neskončno mnogo primitivnh pitagorejskih trojic.
Za raziskovanje pitagorejskih trojic spremenimo izvirno enačbo v obliko:
a2 = (c − b)(c + b)
Velja omeniti, da obstaja več kot ena primitivna pitagorejska trojica z istim najnižjim celim številom. Prvi primer je za 20, ki je najmanjše celo število dveh primitivnih trojic: 20 21 29 in 20 99 101.
Število 1.229.779.565.176.982.820 je najnižje celo število v natanko 15.386 primitivnih trojicah. Najmanjši in največji trojici, katerih del je, sta:
1.229.779.565.176.982.820 1.230.126.649.417.435.981 1.739.416.382.736.996.181
in
1.229.779.565.176.982.820 378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.099 378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.101.
Kot zanimivost preučimo faktorizacijo števila 1.229.779.565.176.982.820 = 22 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47. Število prafaktorjev je v zvezi z velikim številom primitivnih pitagorejskih trojic. Opazimo, da so večja cela števila, ki so najmanjša cela števila v še večjem številu primitivnih pitagorejskih trojic.
Fermatov veliki izrek določa, da netrivialna trojica, podobna pitagorejski z eksponentom večjim od 2, ne obstaja.
Evklidova formula + Evklidova formula = = : a = b = c = Evklidova formula je osnovna formula za izračun pitagorejskih trojic pri poljubnem paru celih števil in , pri čemer velja . Formula pravi, da cela števila
tvorijo pitagorejsko trojico. Na primer celi števili
data primitivno trojico (3, 4, 5):
Sklici
Glej tudi
pitagorejsko praštevilo heronski trikotnik Eisensteinova trojica skladno število
Zunanje povezave
Javin kalkulator za enačbo (m2 − n2, 2mn, m2 + n2) in načini s katerimi pridemo do nje
Kategorija:Aritmetični problemi v ravninski geometriji Kategorija:Diofantske enačbe Kategorija:Pitagorov izrek Kategorija:Kvadrati v teoriji števil Kategorija:Geometrija trikotnika