Kumulanta n-tega reda slučajne spremenljivke X je v teoriji verjetnosti in statistiki določena z logaritmom funkcije, s pomočjo katere lahko generiramo momente porazdelitve. n-ti odvod je kumulanta n-tega reda. Kumulante se uporabljajo podobno kot momenti verjetnostne porazdelitve. Obe skupini vrednosti sta si po uporabi ekvivalentni. Je pa uporaba kumulant včasih bolj enostavna kot uporaba momentov. Kumulanto n-tega reda označimo s n.
Definicija Funkcija, ki omogoča izračunavanje kumulant, se označuje z g(t):
n-ti odvod funkcije g(t) je kumulanta n-tega razreda ali
Funkcijo je prvi uvedel danski astronom in matematik Thornwald Nicolai Thiele (1838 -1910).
Lastnosti Invariantnost na premik:
za n ≥ 2
kjer je c konstanta
Homogenost:
Aditivnost:
Kumulante kot funkcije momentov Navedenih je nekaj povezav med momenti in kumulantami:
Kumulante nekaterih diskretnih porazdelitev Izrojena porazdelitev (konstantna slučajna spremenljivka) pri kateri je X = 1. Zanjo velja g '(t) = 1. Prva kumulanta κ1 = 1, ostale kumulante κ2, κ3, … so nič.
Bernoullijeva porazdelitev Če je p = 1, potem velja, da imamo konstantno naključno spremenljivko z X = 1. Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((p −1−1)•e−t + 1)−1.
Prvi dve kumulanti sta: κ1 = g '(0) = p in κ2 = g ' '(0) = p•(1 − p) .
Vsako naslednjo kumulanto lahko izračunamo iz obrazca
Geometrična porazdelitev Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((1 − p)−1•e−t − 1)−1.
Prvi kumulanti sta κ1 = g '(0) = p−1 − 1, κ2 = g ' '(0) = κ1•p − 1.
Poissonova porazdelitev Prvi odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = μ•et. Vse kumulante so enake: κ1 = κ2 = κ3 = ...= μ.
Zunanje povezave Kumulante na MathWorld
Kategorija:Statistika Kategorija:Verjetnostne porazdelitve