У тригонометрији, тригонометријски идентитети су једнакости које укључују тригонометријске функције и тачне су за сваку вредност променљивих за које су обе стране једнакости дефинисане. Геометријски, ово су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који потенцијално укључују углове, али такође укључују дужине страница или друге дужине троугла.
Ови идентитети су корисни кад год је потребно поједноставити изразе који садрже тригонометријске функције. Важна примена је интеграција нетригонометријских функција: уобичајена техника укључује прво коришћење правила смене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла помоћу тригонометријског идентитета.
Питагорини идентитети
class=skin-invert-image|мини|Тригонометријске функције и њихове реципрочне вредности на јединичном кругу. Сви правоугли троуглови су слични, тј. односи између њихових одговарајућих страница су исти. За sin, cos и tan полупречник јединичне дужине чини хипотенузу троугла који их дефинише. Идентитети реципрочних вредности настају као односи страница у троугловима где ова јединична линија више није хипотенуза. Плаво осенчени троугао илуструје идентитет , док црвени троугао показује да је .
Основни однос између синуса и косинуса дат је Питагориним идентитетом:
где значи , а значи
Ово се може посматрати као верзија Питагорине теореме и следи из једначине за јединични круг. Ова једначина се може решити било за синус или за косинус:
где знак зависи од квадранта у ком се налази
Дељењем овог идентитета са , или са оба, добијају се следећи идентитети:
Користећи ове идентитете, могуће је изразити било коју тригонометријску функцију преко било које друге (до на знак плус или минус):
+ Свака тригонометријска функција изражена преко осталих пет. изражено преко → ↓
Рефлексије, помаци и периодичност Испитивањем јединичног круга могу се установити следећа својства тригонометријских функција.
Рефлексије class=skin-invert-image|alt=Јединични круг са углом тета уцртаним на координатама (a,b).|Трансформација координата (a,b) приликом померања угла рефлексије у корацима од |оквир Када је правац Еуклидовог вектора представљен углом то је угао одређен слободним вектором (који почиње у координатном почетку) и позитивним -јединичним вектором. Исти концепт се такође може применити на праве у Еуклидовом простору, где је угао одређен паралелом са датом правом кроз координатни почетак и позитивном -осом. Ако се права (вектор) са правцем рефлектује око праве са правцем онда угао правца ове рефлектоване праве (вектора) има вредност
Вредности тригонометријских функција ових углова за специфичне углове задовољавају једноставне идентитете: или су једнаке, или имају супротне знаке, или користе комплементарну тригонометријску функцију. Ове формуле су такође познате као формуле редукције.
рефлектован у Abramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.13–15идентитети парних/непарних функција рефлектован у комплементарни углови рефлектован у суплементарни углови рефлектован у рефлектован у коњуговани углови; упореди са
Помаци и периодичност class=skin-invert-image|мини|upright=1.5|alt=Јединични круг са уцртаним углом тета.|Трансформација координата (a,b) при померању угла у корацима од
Помак за четвртину периодаортогонални угловиПомак за половину периодасупротни угловиПомак за целе периодепоклапајући угловиAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.7–9Период
Знаци
Знак тригонометријских функција зависи од квадранта угла. Ако је и представља функцију знака,
Тригонометријске функције су периодичне са заједничким периодом па за вредности изван интервала оне узимају вредности које се понављају (погледајте изнад). Знак синусоиде или косинусоиде може се користити за дефинисање нормализованог квадратног таласа. На пример, функције и узимају вредности и одговарају квадратним таласима са фазним помаком од .
Идентитети збира и разлике углова
class=skin-invert-image|Геометријска конструкција за извођење тригонометријских идентитета збира углова|оквир
class=skin-invert-image|мини|Дијаграм који приказује идентитете разлике углова за и
Ове теореме су такође познате као теореме (или формуле) о сабирању и одузимању углова.
Идентитети разлике углова за и могу се извести из верзија за збир углова (и обрнуто) заменом за и коришћењем чињенице да је и . Такође се могу извести коришћењем мало модификоване верзије слике за идентитете збира углова, које су обе приказане овде. Такође се могу посматрати као изражавање скаларног производа и векторског производа два вектора у терминима косинуса и синуса угла између њих.
Ови идентитети су сумирани у прва два реда следеће табеле, која такође укључује идентитете збира и разлике за остале тригонометријске функције.
СинусAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.16 КосинусAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.17 ТангенсAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.18Косеканс Секанс КотангенсAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.19 Аркус синусAbramowitz and Stegun, стр. 80, 4.4.32 Аркус косинусAbramowitz and Stegun, стр. 80, 4.4.33 Аркус тангенсAbramowitz and Stegun, стр. 80, 4.4.34 Аркус котангенс
Синуси и косинуси збирова бесконачно много углова Када ред апсолутно конвергира, тада:
Зато што ред апсолутно конвергира, нужно следи да је и Конкретно, у ова два идентитета појављује се асиметрија која се не види у случају збирова коначно много углова: у сваком производу постоји само коначно много фактора синуса, али постоји коначно много фактора косинуса. Чланови са бесконачно много фактора синуса би нужно били једнаки нули.
Када је само коначно много углова различито од нуле, тада је само коначно много чланова на десној страни различито од нуле јер се сви осим коначно много фактора синуса поништавају. Штавише, у сваком члану сви осим коначно много фактора косинуса једнаки су јединици.
Тангенси и котангенси збирова Нека је (за ) елементарни симетрични полином степена у променљивама
за односно:
Тада је
Ово се може показати коришћењем горенаведених формула за збир синуса и косинуса:
Број чланова на десној страни зависи од броја чланова на левој страни.
На пример:
и тако даље. Случај коначно много чланова може се доказати математичком индукцијом. Случај бесконачно много чланова може се доказати коришћењем неких елементарних неједнакости.
Одређене линеарно разломљене трансформације тангенса
Претпоставимо да и и
и нека буде било који број за који је Претпоставимо да је тако да претходни разломак не може бити . Тада за све
(У случају да је именилац овог разломка 0, узимамо вредност разломка да буде , где симбол не значи ни ни , већ је то којој се приступа идући у позитивном или негативном смеру, чинећи комплетирање линије тополошки кругом.)
Из овог идентитета се може брзо показати да је породица свих Кошијево распоређених случајних променљивих затворена у односу на линеарно разломљене трансформације, што је резултат познат од 1976. године.
Секанси и косеканси збирова
где је елементарни симетрични полином степена у променљивих а број чланова у имениоцу и број фактора у производу у бројиоцу зависе од броја чланова у збиру на левој страни. Случај коначно много чланова може се доказати математичком индукцијом по броју таквих чланова.
На пример,
Птолемејева теорема
class=skin-invert-image|мини|upright=1.5|Дијаграм који илуструје везу између Птолемејеве теореме и тригонометријског идентитета збира углова за синус. Птолемејева теорема наводи да је збир производа дужина наспрамних страница једнак производу дужина дијагонала. Када се те дужине страница изразе помоћу вредности синуса и косинуса приказаних на горњој слици, ово даје тригонометријски идентитет збира углова за синус: .
Птолемејева теорема је важна у историји тригонометријских идентитета, јер су се тако први пут доказали резултати еквивалентни формулама за збир и разлику синуса и косинуса. Она наводи да је у тетивном четвороуглу , као што је приказано на пратећој слици, збир производа дужина наспрамних страница једнак производу дужина дијагонала. У посебним случајевима када је једна од дијагонала или страница пречник круга, ова теорема директно доводи до тригонометријских идентитета збира и разлике углова. Однос најлакше следи када је круг конструисан тако да има пречник дужине један, као што је приказано овде.
Према Талесовој теореми, и су прави углови. Правоугли троуглови и деле хипотенузу дужине 1. Стога је страница , , и .
Према теореми о периферијском углу, централни угао над тетивом у центру круга је двоструко већи од угла , тј. . Стога, симетрични пар црвених троуглова има угао у центру. Сваки од ових троуглова има хипотенузу дужине , па је дужина једнака , односно једноставно . Друга дијагонала четвороугла је пречник дужине 1, па је и производ дужина дијагонала такође .
Када се ове вредности замене у тврдњу Птолемејеве теореме да је , добија се тригонометријски идентитет збира углова за синус: . Формула за разлику углова за може се слично извести тако што ће се страница узети за пречник уместо .
Формуле вишеструког и половине угла
Формуле вишеструког угла
Формуле двоструког угла class=skin-invert-image|мини|upright=1.5|Визуелна демонстрација формуле двоструког угла за синус. За горе приказани једнакокраки троугао са јединичним страницама и углом , површина се рачуна у две оријентације. Када је усправан, површина је . Када је положен на страну, иста површина је . Стога, . + Формуле двоструког угла,преко (или ) и Идентитет, или Идентитет,
Формуле троструког угла Формуле за троструке углове.
Формуле вишеструког угла Формуле за вишеструке углове.
Метод Чебишова Чебишовљева метода је рекурзивни алгоритам за проналажење формуле за -ти вишеструки угао познавајући -ту и -гу вредност.
се може израчунати из , , и помоћу:
Ово се може доказати сабирањем формула
Следи индукцијом да је полином од , Чебишовљев полином прве врсте, ; дакле,
Слично томе, се може израчунати из , и помоћу
Ово се може доказати сабирањем формула за и
Служећи сличној сврси као метода Чебишова, за тангенс можемо написати:
Формуле половине угла
Такође
Табела Ово се може показати коришћењем идентитета збира и разлике или формула за вишеструке углове.
Синус Косинус Тангенс Котангенс Формула двоструког углаAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.24–26 Формула троструког углаAbramowitz and Stegun, стр. 72, 4.3.27–28 Формула половине угла Чињеница да формула троструког угла за синус и косинус укључује само степене једне функције омогућава повезивање геометријског проблема конструкције шестаром и лењиром за трисекцију угла са алгебарским проблемом решавања кубне једначине, што омогућава да се докаже да је трисекција генерално немогућа помоћу задатих алата.
Постоји формула за израчунавање тригонометријских идентитета за трећину угла, али она захтева проналажење нула кубне једначине , где је вредност косинусне функције на трећини угла, а је позната вредност косинусне функције на пуном углу. Међутим, дискриминанта ове једначине је позитивна, тако да ова једначина има три реална корена (од којих је само један решење за косинус трећине угла). Ниједно од ових решења није сводљиво на реалан алгебарски израз, јер користе интермедијарне комплексне бројеве под кубним коренима.
Формуле за смањење степена
Добијају се решавањем друге и треће верзије косинусне формуле двоструког угла.
СинусКосинусОстало
Општи услови степена или дају следеће тачне једнакости, које се могу извести коришћењем Моаврове формуле, Ојлерове формуле и биномне теореме.
ако је n ... n је непаран n је паран
Идентитети претварања производа у збир и збира у производ class=skin-invert-image|Доказ косинусне формуле збира и разлике у производ за простаферезне прорачуне помоћу једнакокраког троугла |оквир