U matematici, opšta topologija je grana topologije koja se bavi osnovnim definicijama i konstrukcijama teorije skupova koje se koriste u topologiji. Ono je osnova za većinu drugih grana topologije, uključujući diferencijalnu topologiju,Bott, R. and Tu, L.W., 1982. Differential forms in algebraic topology (Vol. 82, pp. xiv+-331). New York: Springer.Milnor, J. and Weaver, D.W., 1997. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton university press. geometrijsku topologiju i algebarsku topologiju.. Drugi naziv za opštu topologiju je topologija skupa tačaka.
Fundamentalni koncepti u opštoj topologiji su kontinuitet, kompaktnost, i povezanost: Neprekidne funkcije, intuitivno, prenese obližnje tačke do obližnjih tačaka Kompaktni skupovi su oni koji mogu da budu pokriveni sa konačno mnogo skupova proizvoljno male veličine. Povezani skupvi su skupovi koji se ne mogu podeliti u dva dela koja su daleko jedan od drugog.
Reči 'obližnji', 'proizvoljno mali', i 'daleko razdvojeni' se mogu učiniti preciznim koristeći koncept otvorenih skupova. Ako se promeni definicija 'otvorenog skupa', menja se ono što su neprekidne funkcije, kompaktni skupovi, i povezani skupovi. Svaki izbor definicije za 'otvoreni skup' se naziva topologija. Skup sa topologijom se naziva topološki prostor.
Metrički prostori su važna klasa topoloških prostora gde realna, nenegativna rastojanja, koja se takoše nazivaju metrici, mogu da budu definisana na parovima tačaka u skupu. Postojanje metrika pojednostavljuje mnoge dokaze, a mnogi najčešćih topoloških prostora su metrički prostori.
Istorija
Opšta topologija je proizašla iz brojnih oblasti, najvažnije od kojih su: detaljno proučavanje podskupova realne linije (koja je nekada bila poznata kao topologija skupova tačaka; ova upotreba je sada zastarela) uvođenje koncepta mnogostrukosti proučavanje metričkih prostora, posebno normiranih linearnih prostora, u prvim danima funkcionalne analize.
Opšta topologija je svoj današnji oblik poprimila oko 1940. godine. Ona obuhvata, moglo bi se reći, gotovo sve unutar intuicije kontinuiteta, u tehnički adekvatnom obliku koji se može primeniti u bilo kojoj oblasti matematike.
Topologija na skupu
Neka je X skup i neka je -{τ}- familija podskupova od X. Onda se -{τ}- naziva topologijom na X ako:Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008.
Prazan skup i X su elementi iz τ Svaka unija elemenata iz τ je element iz τ Svaki presek konačno mnogo elemenata iz τ je element iz τ
Ako je -{τ}- topologija na X, onda se par (X, -{τ}-) naziva topološkim prostorom. Notacija Xτ se može koristiti za označavanje skupa X na kome je primenljiva određena topologija -{τ}-.
Članovi τ se nazivaju otvorenim skupovima u X. Za podskup od X se kaže da je zatvoren, ako je njegov komplement u τ (i.e., njegov komplement je otvoren). Podskup od X može da bude otvoren, zatvoren, oba (zatvoreno-otvoren skup), ili ni jedno. Prazan skup i samo X su uvek otvoreni i zatvoreni.
Baze topologije
Baza -{B}- za topološki prostor X sa topologijom -{T}- je kolekcija otvorenih skupova u -{T}- takvih da svaki otvoreni skup u T može da bude napisan kao unija elemenata od -{B}-. Kaže se da baza generiše topologiju -{T}-. Baze su korisne jer se mnoga svojstva topologija mogu redukovati do izjava o bazama koje generišu tu topologiju — i zato što se mnoge topologije najlakše definišu u pogledu baza koja ih generiše.
Reference
Literatura
John L. Kelley . link from Internet Archive, originally published by David Van Nostrand Company. George F. Simmons, . Paul L. Shick, .
. by K.A.Rousan arvXiv id- 1905.13481
. Addison-Wesley . . Booksurge (3rd edition of differently titled books) Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969). . (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition. (September 5)..
. McGraw-Hill; 1st edition. (June 1).. Munkres, James; . Prentice Hall; 2nd edition. (December 28).. . Springer; 1st edition. (July 6)..
Brown, Morton (1960), 65 1959 59–65. . North-Holland. (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
(Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids). . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem." This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper. . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
Spoljašnje veze
The arXiv subject code is
Категорија:Топологија