200п|noframe|right 200п|мини|Одмотавање обима точка пречника 1 траје дужином пута Пи или је математичка константа, данас широко примењивана у математици и физици. Њена приближна вредност је 3,14159, а дефинише се као однос обима и пречника круга или као однос површина круга и квадрата над његовим полупречником. је такође познато и као Архимедова константа (не треба га мешати са Архимедовим бројем) или Лудолфов број. У пракси се бележи малим грчким словом а у српском језику је правилно писати и пи. Ознака за број потиче од грчке речи периметар (περίμετρος). У математику ју је увео Вилијам Џоунс 1707. године, а популаризовао ју је Леонард Ојлер 1737.
Број заокружена на 64 децимална места је:
≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Број има бесконачно много децимала.
је ирационалан број, што значи да се његова вредност не може изразити преко разломака. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. је такође трансцендентан број, што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја и разуме његова природа.
Особине Дефиниција мини|180п| је однос обима и пречника круга мини|180п| је однос површина круга и квадрата над његовим полупречником У Еуклидској геометрији, број се дефинише као однос обима и пречника круга:
је увек исти, без обзира на величину круга.
се може још дефинисати и као површина круга полупречника 1, обим круга чији је пречник 1 или односом површине круга (-{P}-) и квадрата над његовим полупречником:
Ове дефиниције зависе од последица Еуклидске геометрије, као што је чињеница да су сви кругови слични. Ово може бити проблем у областима математике које не укључују геометрију. Због овог разлога математичари често радије дефинишу без референци на геометрију, бирајући уместо тога једну од аналитичких особина као дефиницију. Чест избор је да се дефинише као најмањи позитиван број чији је синус једнак нули или двострука вредност најмањег позитивног броја чији је косинус једнак нули.
Ирационалност, трансцендентност и последице је ирационалан број. то јест, не може се представити као однос два цела броја. То значи да се број представља бесконачним низом цифара, и то тако да нема периодичности. Ову његову особину је доказао Јохан Хајнрих Ламберт 1761. године Више од тога, је и трансцендентан број, што је доказао Фердинанд фон Линдеман 1882. године Ово значи да не постоји полином са рационалним коефицијентима чији би корен био број .
Важна последица трансцендентности овог броја је чињеница да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања тј. број није конструктибилан. Ово је такође доказ да није могуће извршити квадратуру круга тј. немогуће је лењиром и шестаром конструисати квадрат чија би површина била једнака површини датог круга. Разлог је тај да су, полазећи од јединичног круга и тачке (1,0) на њему, координате свих тачака које се могу конструисати коришћењем лењира и шестара конструктибилни бројеви.
Нумеричка вредност Нумеричка вредност заокругљена на 64 децимална места је:
≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Иако је вредност броја израчуната до више од билион децимала, основне примене, као што је рачунање обима круга, ретко захтевају више од неколико децимала. На пример, вредност заокружена на 11 децимала ће приближно тачно израчунати обим круга величине Земље милиметарском прецизношћу, а вредност заокружена на 39 децималних места је довољна да се израчуна обим било ког круга који се може наћи у видљивом свемиру са прецизношћу једнакој величини атома водоника.
У старој Грчкој је било познато да је приближно једнако двадесет две седмине ( ≈22/7).
Пошто је ирационалан број, његов децимални запис је бесконачан и непериодичан. Овај бесконачни низ цифара је опчињавао и математичаре и лаике, а током последњих неколико векова уложено је много труда у рачунању што више децимала и испитивању особина броја.
Формуле са пи Геометрија се појављује у формулама које се тичу геометријских слика и тела које садрже облик круга или елипсе. У њих спадају ваљак, купа и лопта.
Геометријски обликФормулаОбим круга полупречника -{r}- односно пречника -{d}-Површина круга полупречника -{r}-Површина елипсе са полуосама -{a}- и -{b}-Запремина лопте полупречника -{r}-Површина лопте полупречника -{r}-Запремина ваљка висине -{H}- и полупречника -{r}-Површина ваљка висине -{H}- и полупречника -{r}-Запремина купе висине -{H}- и полупречника -{r}-Површина купе висине -{H}- и полупречника -{r}-
Такође, угао од 180 степени износи радијана.
Анализа У математичкој анализи се број изражава и користи на доста различитих начина. Од облика бесконачних редова и производа до интеграла и специјалних функција. Франсоа Вијет, 1593:
Лајбницова формула:
Овај често навођени бесконачни ред најчешће се пише у горњем облику, док је технички исправан запис:
Валисов производ:
Интеграл вероватноће, познат из математичке анализе (види такође: функција грешке и нормална расподела):
Базелски проблем, који је први решио Ојлер (види такође и Риманова зета-функција):
и, уопште, је рационални умножак броја за свако природно -{n}-. Вредност Гама-функције у тачки 1/2:
Стирлингова апроксимациона формула:
Ојлеров идентитет (којег је Ричард Фајнман назвао „најбољом формулом у математици“):
Особина Ојлерове φ-функције:
Површина једне четвртине јединичног круга:
Комплексна анализа
Специјалан случај Ојлерове формуле за :
Основни случај Теореме о остацима:
Верижни разломак има пуно представљања у облику верижних разломака, као што је на пример:
Теорија бројева
Неки резултати из теорије бројева: Вероватноћа да су два случајно изабрана цела броја узајамно проста је 6/2. Вероватноћа да је случајно изабран цео број бесквадратан је 6/2. У просеку, број начина да се дати природан број напише као збир два савршена квадрата (редослед сабирака је битан) је /4.
Овде, „вероватноћа“, „просек“ и „насумичан“ су узети у смислу граничне вредности; тј. посматра се вероватноћа одговарајућег догађаја у скупу бројева , а затим узима гранична вредност те вероватноће када (-{N}- је „јако велико“ или „тежи бесконачности“).
Динамички системи/Ергодичка теорија У теорији динамичких система (види такође ергодичка теорија), за скоро свако реално -{x0}- у интервалу [0,1],
где су -{xi}- итериране вредности логистичког пресликавања за -{r = 4}-.
Физика У физици, појава броја π у формулама је најчешће ствар договора и нормализације. На пример, коришћењем упрошћене Планкове константе може се избећи писање броја π експлицитно у великом броју формула у квантној механици. Заправо, упрошћена варијанта је и базичнија, а присуство фактора 1/2 у формулама које користе -{h}- може се сматрати напросто условљеном уобичајеном дефиницијом Планкове константе. Хајзенбергов принцип неодређености:
Ајнштајнова једначина поља опште теорије релативности:
Кулонов закон за електричну силу:
Магнетна пермеабилност слободног простора:
У физици се најчешће заокругљује на две децимале (3,14).
Вероватноћа и статистика У вероватноћи и статистици постоји пуно расподела, чији аналитички изрази садрже π, укључујући: Густина расподеле вероватноће за нормалну расподелу са математичким очекивањем μ и стандардном девијацијом σ:
Густина расподеле вероватноће за (стандардну) Кошијеву расподелу:
Треба приметити да се, како је за сваку функцију густине расподеле вероватноће -{f(x)}-, помоћу горњих формула може добити још интегралних формула за .
Занимљива емпиријска апроксимација броја заснована је на проблему Буфонове игле. Посматрајмо експеримент у којем се игла дужине -{L}- баца на раван на којој су означене две паралелне праве на међусобном растојању -{S}- (где је -{S}->-{L}-). Ако се игла на случајан начин баци велики број -{(n)}- пута, од којих се -{x}- пута заустави тако да сече једну од правих, онда приближну вредност броја можемо добити коришћењем формуле
Историја Симбол „“ за Архимедову константу је први пут увео 1706. године математичар Вилијам Џоунс када је објавио „Нови увод у математику“ (), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга.
Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио Леонард Ојлер. У оба случаја, је прво слово речи περιμετρος (периметрос), што значи „мерити около“ на грчком језику.
Ево кратке хронологије броја : Време</th>Особа</th>Вредност π(светски рекорди су подебљани)20. век п. н. е.Вавилонци25/8 = 3,12520. век п. н. е.Египатски математички папирус (Рајндов папирус)(16/9)² = 3,160493...12. век п. н. е.Кинези3 средина 6. века п. н. е.1 Цар. 7:233434. п. н. е.Анаксагора је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром3. век п. н. е.Архимед223/71 < < 22/7(3,140845... < < 3,142857...) 20. п. н. е.Витрувије25/8 = 3,125130.Чанг Хонг√10 = 3,162277...150.Птолемеј377/120 = 3,141666...250.Ванг Фау142/45 = 3,155555...263.Лиу Хуи3,14159480.Зу Чонгжи3,1415926 < π < 3,1415927499.Арјабхата62832/20000 = 3,1416598.Брамагупта√10 = 3,162277...800.Мухамед Ал Хорезми3,141612. векБаскара3,141561220.Фибоначи3,1418181400.Мадава3,14159265359Сви подаци од 1424. су дати у бројевима тачних децималних места (дм).1424.Џамшид Масуд Ал Каши16 дм1573.Валентус Ото6 дм1593.Франсоа Вијет9 дм1593.Адријен ван Ромен15 дм1596.Лудолф ван Цојлен20 дм1615.Лудолф ван Цојлен32 дм1621.Вилеброрд Снел (Снелије), Лудолфов ученик35 дм1665.Исак Њутн16 дм1699.Абрахам Шарп71 дм1700.Секи Кова10 дм1706.Џон Мејчин100 дм1706.Вилијам Џоунс увео грчко слово ''1730.Камата25 дм1719.Де Лањи израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна112 дм1723.Такебе41 дм1734.Леонард Ојлер усвојио грчко слово '' и обезбедио његову популарност1739.Мацунага50 дм1761.Јохан Хајнрих Ламберт доказао да је ирационалан број1775.Ојлер указао на могућност да би могао бити трансцендентан1789.Јуриј Вега израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна137 дм1794.Адријан-Мари Лежандр показао да је и π² (па самим тим и ) ирационалан, и спомиње могућност да је могуће трансцендентан.1841.Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна152 дм1844.Захарија Дазе и Штрасницки200 дм1847.Томас Клаузен248 дм1853.Леман261 дм1853.Радерфорд440 дм1853.Вилијам Шенкс527 дм1855.Рихтер500 дм1874.Вилијам Шенкс је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон 1946. године)527 дм1882.Линдеман доказао да је π трансцендентан (Линдеман-Вајерштрасова теорема, коју неки зову и „најлепшом теоремом целе математике“)1946.Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор620 дм1947.710 дм1947.808 дмСви рекорди од 1949. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.1949.Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар (Енијак) да израчунају π2.037 дм1953.Малер показао да pi; није Лиувилов број1955.Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит3.089 дм1961.100.000 дм1966.250.000 дм1967.500.000 дм1974.1.000.000 дм1992.2.180.000.000 дм1995.Јасумаса Канада> 6.000.000.000 дм1997.Канада и Такахаши> 51.500.000.000 дм1999.Канада и Такахаши> 206.000.000.000 дм2002.Канада и тим> 1.240.000.000.000 дм2003.Канада и тим> 1.241.100.000.000 дмАприл 2004.Канада и тим 1.3511 билион цифара укупноОктобар 2011.Шигеру Кондо, Александер Ји 10 билиона цифара
Нумеричке апроксимације броја π Због трансцендентне природе броја , не постоје прикладни затворени изрази за . Стога, нумеричка израчунавања морају користити приближне вредности (апроксимације) броја. За пуно потреба, 3,14 или 22/7 је довољно близу, иако инжењери често користе 3,1416 или 3,14159 (5, односно 6 значајних цифара) ради веће прецизности. Апроксимације 22/7 и 355/113, са 3 и 7 значајних цифара, се добијају из једноставног развоја у верижни разломак.