У аналитичкој теорији бројева и сродним гранама математике, комплексно-вредносна аритметичка функција је Дирихлеов карактер модула (где је позитиван цео број) ако за све целе бројеве и важи:Ово је стандардна дефиниција; нпр. Davenport, стр. 27; Landau, стр. 109; Ireland and Rosen, стр. 253 то јест, је потпуно мултипликативна функција. (gcd је највећи заједнички делилац) ; то јест, је периодична са периодом .
Најједноставнији могући карактер, назван главни карактер, који се обично означава са (погледајте Нотација испод), постоји за све модуле:Обратите пажњу на посебан случај модула 1: јединствени карактер мод 1 је константа 1; сви остали карактери су 0 у 0.
Немачки математичар Петер Густав Лежен Дирихле — по коме је карактер добио име — увео је ове функције у свом раду из 1837. године о простим бројевима у аритметичким прогресијама.Енглески превод се налази у спољашњим везама. У том раду, користећи концепте математичке анализе за решавање алгебарског проблема, Дирихле је практично утемељио грану аналитичке теорије бројева. При доказивању своје теореме, увео је Дирихлеове карактере и L-функције.
Нотација
је Ојлерова фи функција.
је комплексни примитивни n-ти корен јединице: али
је група јединица мод . Има ред
је група Дирихлеових карактера мод .
итд. су прости бројеви.
је стандарднаКористи се код Давенпорта, Ландауа, Ајерленда и Розена скраћеница је еквивалентно са за
итд. су Дирихлеови карактери. (мало грчко слово хи за „карактер”)
Не постоји стандардна нотација за Дирихлеове карактере која укључује модул. У многим контекстима (као у доказу Дирихлеове теореме) модул је фиксиран. У другим контекстима, као у овом чланку, појављују се карактери различитих модула. Где је прикладно, овај чланак користи варијацију Конрејевог означавања (које је увео Брајан Конреј и користи ЛМФДБ).
У овом означавању, карактери за модул означавају се са где је индекс описан у одељку група карактера испод. У овом означавању, означава неодређени карактер, а означава главни карактер мод .
Однос са групним карактерима
Реч „карактер” се користи на неколико начина у математици. У овом одељку, односи се на хомоморфизам из групе (написане мултипликативно) у мултипликативну групу поља комплексних бројева:
Скуп карактера означава се са Ако се производ два карактера дефинише тачкастим множењем идентитет тривијалним карактером и инверз комплексном инверзијом , тада постаје абелова група.Погледати Мултипликативни карактер
Ако је коначна абелова група, тада постоји изоморфизам , и важе релације ортогоналности:Погледати Група карактера#Ортогоналност карактера
и
Елементи коначне абелове групе су класе остатака где је
Групни карактер се може проширити на Дирихлеов карактер дефинисањем
и обрнуто, Дирихлеов карактер мод дефинише групни карактер на
Парафразирајући Давенпорта, Дирихлеови карактери се могу сматрати посебним случајем карактера абелових група. Али овај чланак прати Дирихлеа дајући директан и конструктиван приказ. То је делимично из историјских разлога, јер је Дирихлеов рад претходио развоју теорије група за неколико деценија, а делимично из математичког разлога, наиме што група у питању има једноставну и занимљиву структуру која се замагљује ако се третира као општа абелова група.
Елементарне чињенице
4) Пошто је својство 2) каже да је , па се може скратити са обе стране једнакости : Ова својства се изводе у свим уводима у ову тему, нпр. Davenport, стр. 27; Landau, стр. 109.
5) Својство 3) је еквивалентно са
ако је онда је
6) Својство 1) имплицира да, за било који позитиван цео број
7) Ојлерова теорема каже да ако је , онда је Према томе,
То јест, ненулте вредности од су -ти корени јединице:
за неки цео број који зависи од и . Ово имплицира да постоји само коначан број карактера за дати модул.
8) Ако су и два карактера за исти модул, и њихов производ дефинисан тачкастим множењем, јесте карактер: ( очигледно задовољава 1-3).Уопштено, производ карактера мод и карактера мод је карактер мод
Главни карактер је идентитет:
9) Нека означава инверз од у . Тада је па је што проширује својство 6) на све целе бројеве.
Комплексни конјугат корена јединице је такође његов инверз (погледајте овде за детаље), па за важи ( такође очигледно задовољава 1-3).
Дакле, за све целе бројеве другим речима .
10) Множење и идентитет дефинисани у 8) и инверзија дефинисана у 9) претварају скуп Дирихлеових карактера за дати модул у коначну абелову групу. Група карактера
Постоје три различита случаја јер групе имају различите структуре у зависности од тога да ли је степен 2, степен непарног простог броја, или производ степена простих бројева.Осим употребе модификованог Конрејевог означавања, овај одељак прати Давенпорта стр. 1-3, 27-30
Степени непарних простих бројева
Ако је непаран број, је циклична реда ; генератор се назива примитивни корен мод .Постоји примитивни корен мод који је примитивни корен мод и свих виших степена од . Погледати, нпр., Landau стр. 106 Нека је примитивни корен и за дефинишемо функцију (индекс од ) са
За ако и само ако је Пошто је је одређен својом вредношћу на
Нека је примитивни -ти корен јединице. Из својства 7) изнад, могуће вредности од су Ове различите вредности дају Дирихлеових карактера мод За дефинишемо као
Тада за и све и што показује да је карактер, и што даје експлицитан изоморфизам
Примери m = 3, 5, 7, 9 2 је примитивни корен мод 3. ()
па су вредности од . Ненулте вредности карактера мод 3 су
2 је примитивни корен мод 5. ()
па су вредности од . Ненулте вредности карактера мод 5 су
3 је примитивни корен мод 7. ()
па су вредности од . Ненулте вредности карактера мод 7 су () .
2 је примитивни корен мод 9. ()
па су вредности од . Ненулте вредности карактера мод 9 су () .
Степени 2
је тривијална група са једним елементом. је циклична група реда 2. За 8, 16 и веће степене 2, не постоји примитивни корен; степени од 5 су јединице , а њихови негативи су јединице На пример
Нека је ; тада је директан производ цикличне групе реда 2 (генерисане са −1) и цикличне групе реда (генерисане са 5). За непарне бројеве дефинишемо функције и са
За непарне и ако и само ако је и За непаран вредност је одређена вредностима од и Нека је примитивни -ти корен јединице. Могуће вредности су Ове различите вредности дају Дирихлеових карактера мод За непаран дефинишемо са
Тада за непарне и и све и што показује да је карактер, и што показује да је
Примери m = 2, 4, 8, 16
Једини карактер мод 2 је главни карактер .
−1 је примитивни корен мод 4 ()
Ненулте вредности карактера мод 4 су
−1 и 5 генеришу јединице мод 8 ()
.
Ненулте вредности карактера мод 8 су
−1 и 5 генеришу јединице мод 16 () .
Ненулте вредности карактера мод 16 су
.
Производи степена простих бројева Нека је где је факторизација од на степене простих бројева. Група јединица мод је изоморфна директном производу група мод :Погледати група јединица за детаље
Ово значи да 1) постоји један-на-један кореспонденција између и -торки где је и 2) множење мод одговара координатном множењу -торки: одговара где је
Кинеска теорема о остацима (КТО) имплицира да су једноставно Постоје подгрупе такве да јеДа би се конструисали за свако користити КТО да се нађе где је и
Тада је и свако одговара -торки где је и Свако може се јединствено факторисати као Претпоставимо да одговара . По конструкцији одговара , одговара итд. чији је координатни производ . На пример, нека је Тада је и Факторизација елемената је
Ако је карактер мод на подгрупи он мора бити идентичан неком мод . Тада је
што показује да је сваки карактер мод производ карактера мод .
За дефинишемоПогледати Конрејево означавање.
Тада за и све и Јер су ове формуле тачне за сваки фактор. што показује да је карактер, и што показује изоморфизам
Примери m = 15, 24, 40
Факторизација карактера мод 15 је
Ненулте вредности карактера мод 15 су
.
Факторизација карактера мод 24 је
Ненулте вредности карактера мод 24 су
.
Факторизација карактера мод 40 је
Ненулте вредности карактера мод 40 су .
Резиме Нека је , факторизација од и претпоставимо
Постоји Дирихлеових карактера мод Означавају се са где је еквивалентно са Идентитет је изоморфизам Ово важи за све коначне абелове групе: ; Погледати Ireland & Rosen стр. 253-254
Сваки карактер мод има јединствену факторизацију као производ карактера мод степена простих бројева који деле :
Ако је производ је карактер где је дато са и
Такође,јер су формуле за мод степена простих бројева симетричне у и и формула за производе чува ову симетрију. Погледати Davenport, стр. 29.Ово је исто као рећи да су n-та колона и n-ти ред у табелама ненултих вредности исти.
Ортогоналност
Две релације ортогоналности суПогледати #Однос са групним карактерима изнад. и Релације се могу написати у симетричном облику и
Прва релација је лака за доказивање: Ако је постоји ненултих сабирака, сваки једнак 1. Ако је постојипо дефиницији од неко Тада је јер множење сваког елемента у групи константним елементом само пермутује елементе. Погледати Група (математика) што имплицира Дељењем са првим фактором добија се ш.т.д. Идентитет за показује да су релације еквивалентне.
Друга релација се може доказати директно на исти начин, али захтева лемуDavenport стр. 30 (парафраза) Да би се доказала [друга релација] морају се користити идеје које смо користили у конструкцији [као у овом чланку или Landau стр. 109-114], или се позвати на теорему о бази за абелове групе [као у Ireland & Rosen стр. 253-254] За дато постоји
Друга релација има важну последицу: ако је дефинишимо функцију Тада је
то јест, је индикаторска функција класе остатака . Ово је основа у доказу Дирихлеове теореме.Davenport гл. 1, 4; Landau стр. 114Приметити да ако је било која функција ; погледати Фуријеова трансформација на коначним групама#Фуријеова трансформација за коначне абелове групе
Класификација карактера
Кондуктор; Примитивни и индуковани карактери
Сваки карактер мод степена простог броја је такође карактер мод сваког већег степена. На пример, мод 16Овај одељак прати Davenport стр. 35-36,
има период 16, али има период 8, а има период 4: и
Кажемо да карактер модула има квазипериод ако је за све , узајамно просте са који задовољавају мод . На пример, , једини Дирихлеов карактер модула , има квазипериод , али не и период (има период ). Најмањи позитиван цео број за који је квазипериодичан је кондуктор од . Тако, на пример, има кондуктор .
Кондуктор од је 16, кондуктор од је 8, а од и је 4. Ако су модул и кондуктор једнаки, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Непримитиван карактер је индукован карактером за најмањи модул: је индукован из , а и су индуковани из .
Сличан феномен се може десити са карактером мод производа простих бројева; његове ненулте вредности могу бити периодичне са мањим периодом.
На пример, мод 15, .
Ненулте вредности имају период 15, док вредности имају период 3, а имају период 5. Ово је лакше видети када се упореде са карактерима мод 3 и 5:
.
Ако је карактер мод дефинисан као , или еквивалентно као његове ненулте вредности су одређене карактером мод и имају период .
Најмањи период ненултих вредности је кондуктор карактера. На пример, кондуктор од је 15, кондуктор од је 3, а од је 5.
Као и у случају степена простих бројева, ако је кондуктор једнак модулу, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Ако је непримитиван, он је индукован карактером са мањим модулом. На пример, је индукован из , а из .
Главни карактер није примитиван.Davenport га класификује као ни примитивног ни непримитивног; LMFDB га индукује из
Карактер је примитиван ако и само ако је сваки од фактора примитиван.Приметити да ако је два пута непаран број, , сви карактери мод су непримитивни јер је
Примитивни карактери често поједностављују (или омогућавају) формуле у теоријама L-функцијаНа пример, функционална једначина од важи само за примитивне . Погледати Davenport, стр. 85 и модуларних форми.
Парност